Задачи с прикладным содержанием

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C = 6 \cdot 10^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R = 8 \cdot 10^{6}$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_{0} = 34$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t = \alpha RC \log_{2} \dfrac{U_{0}}{U}$ (с), где $\alpha = 0{,}8$ — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 76,8 секунды. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 217 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле $v=c\cdot\frac{f-f_{0}}{f+f_{0}}$, где $c=1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_{0}$ — частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала $f$, если скорость погружения батискафа не должна превышать 12 м/с. Ответ выразите в МГц.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моль воздуха объёмом $V_{1} = 120$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_{2}$ (в л). Работа $A$ (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A = \alpha \nu T \log_{2} \frac{V_{1}}{V_{2}},$ где $\alpha = 8{,}7\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ — постоянная, $T = 300$ К — температура воздуха. Найдите, какой объем $V_{2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 10 440 Дж. Ответ дайте в литрах.

Два тела, массой $m = 6$ кг каждое, движутся одинаковой скоростью $v = 9$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^{2} \sin^{2} \alpha,$ где $m$ — масса (в кг), $v$ — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $2\alpha$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 3500$ км/ч$^{2}$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 70 км/ч.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 5$ моля воздуха при давлении $p_{1} = 1{,}1$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_{2}$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = \alpha \nu T \log_{2} \frac{p_{2}}{p_{1}}$, где $\alpha = 11{,}5$ – постоянная, $T = 300$ К – температура воздуха. Найдите, какое давление $p_{2}$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 34500 Дж.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f = f_{0} \cdot \frac{c + u}{c - v}$, где $f_{0} = 170$ Гц – частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 2$ м/с и $v = 17$ м/с – скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 180 Гц? Ответ дайте в м/с.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v_{0} = 30$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 4\ \text{м/с}^{2}$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v_{0}t - \frac{at^{2}}{2}$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 112 метров. Ответ выразите в секундах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в $\text{км/ч}^{2}$). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2\ell a}$, где $\ell$ – пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1 км, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ дайте в $\text{км/ч}^{2}$.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\phi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$, где t - время в минутах, $\omega = 136^{\circ}$/мин$^2$ - начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta = 8^{\circ}$/ мин$^2$ - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход намотки кабеля не позже, когда угол намотки $\phi$ достигнет $4320^{\circ}$. Определите время после начала намотки кабеля, не позже которого рабочий должен проверить работу катушки. Ответ дайте в минутах.

В телевизоре емкость высоковольтного конденсатора $C=6\cdot 10^{-7}$. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $R=4\cdot 10^7$ Ом. Вовремя работы телевизора напряжение в конденсаторе $48$ кВ. После выключения телевизора напряжение в конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определенное выражением $t=\alpha RC\log_2\frac{U_0}{U}$ (с), где $\alpha=1,7$ - постоянная. Определите напряжение в конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $40,8$ секунд. Ответ дайте в киловольтах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=284$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $f=\frac{f_0}{1-\dfrac{v}c}$ (Гц), где $c$ -скорость звука в м/с. Человек стоящий на платформе различает сигналы по тону, если они отличаются не менее, чем на $8$ Гц. определите с какой наименьшей скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0=260$ Гц и определяется следующим выражением: $f=f_0\cdot \frac{c+u}{c-v}$ (Гц), где $c$ - скорость распространения сигнала в среде (в м/с), $u=30$ м/с - скорость приемника относительно среды, $v=18$ м/с - скорость источника относительно среды. При какой минимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике $f$ будет не менее $270$ Гц.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте $h$ км над землей, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l=\sqrt{2Rh}$, где $R=6400$ км - радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии $32$ км? Ответ дайте в километрах.

Двигаясь со скоростью $v=4$ м/с, трактор тащит сани с силой $F=70$ кН, направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором $N = Fv\cos\alpha$ (единицы измерения- $кВт= \frac{кН\cdot м}{с}$). Найдите при каком угле $\alpha$ (в градусах) эта мощность будет равна $140$ кВт.

Два тела, массой $m= 7$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=16$ м/с под углом $2\alpha$ по отношению друг к другу. Энергия (в джоулях), которая выделяется при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2\sin^2\alpha$, где $m$ - масса в килограммах, $v$- скорость в м/с. Найдите под каким наименьшим углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела. чтобы в результате соударения энергии не менее $448$ джоулей.

На автомобильной шине с помощью специальной маркировки указаны ее размеры. Например, $175/60R15$, где первое число обозначает ширину шины $B$ (в миллиметрах), второе число - отношение высоты профиля шины $H$ к ширине $B$ (в процентах). Буква обозначает конструкцию шины ($R$ - радиальный тип), а последнее число обозначает диаметр обода колеса $d$ в дюймах.

На автомобиль "Тесла X" завод устанавливает шины с маркировкой $265/45R20$. Найдите диаметр $D$ колеса автомобиля. Ответ округлите до целого числа сантиметров (считайте, что дюйм равен $25,4$ мм).

Самые красивые мосты - вантовые. Вертикальные пилоны связаны огромной провисающей цепью. Тросы, свисающие с цепи, поддерживают полотно моста. Эти тросы называются вантами. На рисунке изображена схема одного вантового моста.

Введем систему координат: ось абсцисс ($Ox$) направим вдоль полотна моста, а ось ординат ($Oy$) направим вертикально вдоль одного из пилонов, как показано на рисунке.

В этой системе координат цепь моста имеет уравнение $y =0,0034x^2 + 0,952x + 48$, где $x$ и $y$ измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в $100$ метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий. Оценка будет складываться из следующих показателей: $I$ - информативность, $S$ - оперативность, $T$ - объективность публикаций, $Q$ - качество сайта. Каждый показатель оценивается читателями по пятибалльной шкале от $1$ до $5$. Аналитики считают, что информативность ценится вдвое дороже,  а объективность в $4$ раза дороже оперативности и качества сайта. Таким образом формула приняла вид:

$$R = \frac{2I +S+4T+Q}{A}$$

Аналитиками необходимо подобрать такое число $A$, при котором если оценки по всем показателям равны, то рейтинг тоже равен этой оценке. Найдите число $A$.

Скорость движения автомобиля $v$ (в км/ч) и угловая скорость вращения вала двигателя $\omega_{\text{дв}}$ (в об/мин) связаны формулой $v=\frac{0,00055\cdot \pi\cdot d\cdot \omega_{\text{дв}}}{kb}$, где $k$ - передаточное число дифференциала автомобиля, $b$ - передаточное число коробки передач при выбранной передаче, $d$ - диаметр колеса (в сантиметрах). В таблице указаны передаточные числа для автомобиля "Лада Ларгус".

Водитель двигается на автомобиле на пятой передаче с постоянной скоростью. Тахометр показывает, что число оборотов двигателя равно $2000$ об/мин. Найдите скорость автомобиля в км/ч, если известно, что диаметр колеса равен $70$ см (считайте, что $\pi = 3,14$). Ответ округлите до целого числа.