Задачи с прикладным содержанием

На автомобильной шине с помощью специальной маркировки указаны ее размеры. Например, $175/60R15$, где первое число обозначает ширину шины $B$ (в миллиметрах), второе число - отношение высоты профиля шины $H$ к ширине $B$ (в процентах). Буква обозначает конструкцию шины ($R$ - радиальный тип), а последнее число обозначает диаметр обода колеса $d$ в дюймах.

На автомобиль "Тесла X" завод устанавливает шины с маркировкой $265/45R20$. Найдите диаметр $D$ колеса автомобиля. Ответ округлите до целого числа сантиметров (считайте, что дюйм равен $25,4$ мм).

Самые красивые мосты - вантовые. Вертикальные пилоны связаны огромной провисающей цепью. Тросы, свисающие с цепи, поддерживают полотно моста. Эти тросы называются вантами. На рисунке изображена схема одного вантового моста.

Введем систему координат: ось абсцисс ($Ox$) направим вдоль полотна моста, а ось ординат ($Oy$) направим вертикально вдоль одного из пилонов, как показано на рисунке.

В этой системе координат цепь моста имеет уравнение $y =0,0034x^2 + 0,952x + 48$, где $x$ и $y$ измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в $100$ метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий. Оценка будет складываться из следующих показателей: $I$ - информативность, $S$ - оперативность, $T$ - объективность публикаций, $Q$ - качество сайта. Каждый показатель оценивается читателями по пятибалльной шкале от $1$ до $5$. Аналитики считают, что информативность ценится вдвое дороже,  а объективность в $4$ раза дороже оперативности и качества сайта. Таким образом формула приняла вид:

$$R = \frac{2I +S+4T+Q}{A}$$

Аналитиками необходимо подобрать такое число $A$, при котором если оценки по всем показателям равны, то рейтинг тоже равен этой оценке. Найдите число $A$.

Скорость движения автомобиля $v$ (в км/ч) и угловая скорость вращения вала двигателя $\omega_{\text{дв}}$ (в об/мин) связаны формулой $v=\frac{0,00055\cdot \pi\cdot d\cdot \omega_{\text{дв}}}{kb}$, где $k$ - передаточное число дифференциала автомобиля, $b$ - передаточное число коробки передач при выбранной передаче, $d$ - диаметр колеса (в сантиметрах). В таблице указаны передаточные числа для автомобиля "Лада Ларгус".

Водитель двигается на автомобиле на пятой передаче с постоянной скоростью. Тахометр показывает, что число оборотов двигателя равно $2000$ об/мин. Найдите скорость автомобиля в км/ч, если известно, что диаметр колеса равен $70$ см (считайте, что $\pi = 3,14$). Ответ округлите до целого числа. 

Угловая скорость вращения вала автомобильного двигателя $\omega_{\text{дв}}$(в оборотах в минуту) и угловая скорость вращения колес автомобиля $\omega_{\text{к}}$ (в оборотах в минуту) связаны соотношением $\omega_{\text{к}}=\frac{\omega_{\text{дв}}}{kb}$, где $k$ - передаточное число дифференциала автомобиля, а $b$ - передаточное число коробки передач при выбранной передаче. В таблице указаны передаточные числа автомобиля "Ауди 100". 

Водитель разгонялся на 5-ой передаче до тех пор, пока число оборотов двигателя не достигло $3000$ об/мин. В этот момент водитель, не меняя скорости, включил третью передачу. Найдите угловую скорость вращения вала двигателя после переключения. Ответ округлите до целого числа оборотов.

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_p=20^{\circ} C,$через радиатор пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m=0,025$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_0=52^{\circ}C$ до температуры $T$, причем $x=\alpha\cdot \frac{cm}{\gamma}\cdot \log_2\frac{T_0-T_p}{T-T_p},$где $c=4200\frac{\text{Вт}\cdot \text{c}}{\text{кг}\cdot ^{\circ} C}$ - теплоемкость воды, $\gamma=63\frac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot ^{\circ} C}$ - коэффициент теплообмена, $\alpha=1,4$- постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора $7$м.

При распаде радиоактивного изотопа $X$ его масса уменьшается по закону $m(t)=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ - начальная масса изотопа, $t$ (мин.) - время, которое прошло с начала распада изотопа, $T$ -  период полураспада изотопа.В лаборатории было получен изотоп $X$ массой $28$ мг, период полураспада которого равен $22$ мин. Определите через сколько минут с начала распада масса изотопа будет равна $3,5$мг.

Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизотальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика вычисляется по формуле $H = \frac{v_0^2}{4g}(1-\cos2\alpha)$, где $v_0=18$м/с - начальная скорость, $g$ - ускорение свободного падения ($g=10$ м/с$^2$). Найдите минимальный угол $\alpha$ (в градусах), при котором мячик пролетит над высотой $3,05$ м и расстояние равное $1$ м. Ответ дайте в градусах.

Груз массой $0,24$ кг колеблется на пружинке. Его скорость $v$ (в м/с) меняется по закону $v=v_0\cdot\sin\frac{2\pi t}{T}$, где $t$ - время с момента начала колебаний в секундах. $T= 18$ с - период колебаний, $v_0=6$м/с. Кинетическая энергия $E$ (в Дж) груза вычисляется по формуле $E=\frac{mv^2}{2}$, где $m$ - масса груза (в кг), $v$ - скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза  через $12$ секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Высота деревянного стеллажа для книг равна $h=(a+b)n+a$миллиметров,  где $a$ - толщина одной полки в миллиметрах, $b$ - высота одной полки (в мм), $n$ -число таких полок. Найдите, сколько полок у книжного стеллажа, если его высота равна $397,6$ см, толщина доски $16$ мм, высота одной полки равна $380$ мм. 

К источнику с ЭДС $\varepsilon =150$ В и внутренним сопротивлением $r=2$ ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в омах). Напряжение (в вольтах)  на этой нагрузке вычисляется по формуле $U=\frac{\varepsilon\cdot R}{R+r}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $120$ В? Ответ дайте в омах.

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана - Больцмана, согласно которому $P=\sigma ST^4,$где $P$- мощность излучения звезды (в Вт), $\sigma=5,7\cdot 10^{-8}\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot K^4}$ - постоянная, $S$- площадь поверхности звезды ($\text{в м}^2$), а $T$ - температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды $Z$ равна $\frac{1}{81}\cdot 10^{11}\text{ м}^2$,  а мощность её излучения равна $1,4592\cdot 10^{14}$ Вт. Определите, какова температура некоторой звезды $Z$. Ответ дайте в кельвинах.

Мотоциклист ездит по городу со скоростью $v_0=56\text{ км/ч},$но когда выезжает из него, то сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=24\text{ км/ч}^2.$Расстояние, которое проедет мотоциклист, выехав за город, вычисляется по закону $S=v_0t+\frac{at^2}{2},$где t - время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее с момента выезда мотоциклиста  за город, если известно, что за это время он проехал $96$ км. Ответ дайте в минутах. 

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по формуле $H(t)=at^2+bt+H_0,$ где H - высота столба воды в метрах, $H_0$ - начальный уровень воды, равный $16$ метрам, $a=\frac{1}{81}\text{ м/мин}^2$ и $b=-\frac{8}{9}\text{м/мин}$- постоянные, $t$- время в минутах, прошедшее с момента закрытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Велосипедист совершает $n$ оборотов педалей велосипеда, а велосипедист при этом проходит путь, который можно найти по формуле $S=2\pi R\frac{a_1}{a_2}n$м, где $R$- радиус колеса в метрах, $a_1$ и $a_2$ -количество зубцов на большой и малой звездочках велосипеда соответственно. Какой путь пройдет велосипед при $30$ оборотах  педалей, если на большой звездочке $42$, на малой - $18$,  а диаметр колеса $63$ см? Считайте,  что $\pi=3,14$. Ответ дайте в метрах, округлите до целых.

Скорость $v$, пройденный путь $S$, время разгона $t$ и ускорение $a$ связаны соотношениями $v=at, S=\frac{at^2}{2}.$ Автомобиль разгоняется с места с постоянным ускорением $a=6\text{ м/с}^2$и через некоторое время достигает скорости $v=15\text{ м/с}$. Какое расстояние к этому моменту прошел автомобиль? Ответ дайте в метрах.

Сила тока в цепи $I$ (в амперах) определяется по закону Ома: $I=\frac{U}{R}$, где $U$ - напряжение (в вольтах), $R$ - сопротивление электроприбора (в омах). В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $11$ А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, который подключают  к розетке с стандартным напряжением в $220$ В, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $10$ см до $30$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана  - в пределах от $60$ до $90$ см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}.$Определите на каком наименьшем расстоянии (в см) от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение было четким на экране. 

При адиабатическом процессе для идеального газа существует закон $pV^k=3,2\cdot 10^5 \text{Па}\cdot \text{м}^4$, где $p$ - давление в газе в паскалях, $V$ - объем газа в кубических метрах, $k=\frac{4}{3}$. Найдите какой объем V (в м$^3$) будет занимать газ, если давление равно $1,25\cdot10^3$Па?

Высота над землей подброшенного вверх спортивного  снаряда меняется по закону $h(t)=4+33t-10t^2$,где $h$- высота в метрах, $t$ - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд подброшенный вверх снаряд будет находиться на высоте не менее $30$ метров?