Стереометрическая задача

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны.

б) Найдите объём пирамиды $MABF$, если известно, что $AB=6$, а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $60^{\circ}$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точка $M$ — середина $SD$, точка $K$ — середина $SA$.

а) Докажите, что прямые $BK$ и $CM$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

б) Найдите объём пирамиды $MABF$, если угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^{\circ}$ и $AB = 6$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точка $M$ — середина $SD$, точка $K$ — середина $SA$.

а) Докажите, что прямые $BK$ и $CM$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^{\circ}$ и $AB = 6$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны 10. На рёбрах $AB$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM = AK = 4$.

а) Докажите, что плоскость $CMK$ делит тетраэдр $ABCD$ на два многогранника, объёмы которых относятся как 21:4.

б) Найдите косинус угла между плоскостями $CMK$ и $CBD$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через ребро $AB$ провели плоскость $\alpha$, образующую сечение $ABMN$, где точки $M$ и $N$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с боковыми рёбрами $SC$ и $SD$ соответственно. Известно, что $AB=BM=AN=3MN$.

а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $SC$ и $SD$ в отношении 1:2, считая от вершины $S$.

б) Найдите косинус угла между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $\alpha$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB=4$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.

б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $2\sqrt{14}$?

На рёбрах $BC$, $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L$, $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $BL:LC=AM:MB=AN:ND=1:3$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$, проходящая через точки $L$, $M$ и $N$, делит ребро $CD$ в отношении 3:1, считая от вершины $C$.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB=8$.

В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_{1}$ и $A_{1}B_{1}$ соответственно. Известно, что $AM=4MA_{1}$, $A_{1}K=KB_{1}$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_{1}A_{1}$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину призмы $C_{1}$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны 20.

В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_{1}$ и $A_{1}B_{1}$ соответственно. Известно, что $2AM=MA_{1}$, $A_{1}K=KB_{1}$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_{1}A_{1}$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину призмы $C_{1}$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны 12.

В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ все рёбра равны, на ребре $AA_{1}$ отмечена точка $M$. Известно, что $2AM=3MA_{1}$. Через точки $M$ и $C_{1}$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_{1}A_{1}$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $A_{1}B_{1}$ пополам.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ плоскостью $\alpha$ равна $\sqrt{123}$.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ равны 10. Точка $O$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой $SA$ и проходящая через точку $O$, пересекает рёбра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN:ND=2:3$.

а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $SC$.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания $ABCD$, точка $M$ — середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=2:1$, $AB=6$ и $SO=3\sqrt{7}$.

а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R$. Прямые $RM$ и $RK$ пересекают рёбра $SA$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $BL=4LC$.

а) Докажите, что прямые $MK$ и $NL$ пересекаются.

б) Найдите отношение $AN:SN$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $3AN=SN$.

а) Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение $BL:LC$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $AN=4SN$.

а) Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение $BL:LC$.

Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 3$ и $BC = 2$. Точка $M$ делит ребро $A_{1}D_{1}$ в отношении $A_{1}M : MD_{1} = 1 : 2$, точка $K$ — середина $DD_{1}$.

а) Докажите, что плоскость $MCK$ делит отрезок $BB_{1}$ пополам.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MCK$, если $\angle ADC = 60^{\circ}$, а $\angle MKC = 90^{\circ}$.

Основанием прямой призмы $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ является параллелограмм. На рёбрах $A_{1}B_{1}$, $B_{1}C_{1}$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_{1}K : KC_{1} = 1 : 2$, а $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 6.

а) Докажите, что $N$ — середина $BC$.

б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равен 72, а её высота равна 2.

В основании прямой призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP : PB = 1 : 3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_{1}C_{1}$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную отрезку $PQ$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $A_{1}C_{1}$, считая от точки $A_{1}$, если известно, что $AB = AA_{1}$, $AB : BC = 2 : 7$.

Дана прямая призма $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$, в основании которой лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. На $AB$ отмечена точка $P$ такая, что $AP : PB = 3 : 1$. Точка $Q$ делит пополам ребро $B_{1}C_{1}$. Точка $M$ делит пополам ребро $BC$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная $PQ$.

а) Докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, если $AA_{1} = 5$, $AB = 12$, $\cos\angle ABC = \frac{3}{5}$.

В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ точка $M$ является серединой ребра $BB_{1}$, а точка $N$ — середина ребра $A_{1}C_{1}$. Плоскость $\alpha$, параллельная прямым $AM$ и $B_{1}N$, проходит через середину отрезка $MN$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через середину отрезка $B_{1}M$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы имеют длину 4.