Планиметрическая задача

Окружность с центром $O$ касается катетов $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ в точках $M$ и $E$ соответственно, а его гипотенузы — в точке $K$. Отрезок $EH$ — перпендикуляр к прямой $MK$.

а) Докажите, что прямые $CH$ и $EK$ параллельны.

б) Найдите отношение $\frac{CH}{EK}$, если $AC = 15$ и $BC = 8$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK = 90^{\circ}$, $\angle NKL = \angle KLM = 120^{\circ}$.

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.

б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA = \sqrt{3}$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK = 90^{\circ}$, $\angle LMN = \angle KLM = 60^{\circ}$.

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.

б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA = 3\sqrt{3}$.

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Известно, что $\angle BAC = 2\angle ABC$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $P$.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $PAC$ подобны.

б) Найдите $AB$, если $BC = \sqrt{21}$ и $AC = 3$.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $BCDM$ — параллелограмм.

а) Докажите, что две стороны пятиугольника равны.

б) Найдите $AB$, если известно, что $BE=11$, $BC=6$, $AD=9$ и $AB\gt BC$.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $BCDM$ — параллелограмм.

а) Докажите, что две стороны пятиугольника равны.

б) Найдите $AB$, если известно, что $BE=12$, $BC=5$, $AD=9$.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB=CD=5$, а $BC=DE=8$.

а) Докажите, что $AC=CE$.

б) Найдите $BE$, если известно, что $AD=10$.

Периметр треугольника $ABC$ равен 24. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

а) Докажите, что $AC=6$.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\angle ACB=90^{\circ}$.

Биссектриса $AM$ острого угла $A$ равнобедренной трапеции $ABCD$ делит боковую сторону $CD$ пополам. Отрезок $DN$ перпендикулярен отрезку $AM$ и делит сторону $AB$ в отношении $AN:NB=7:1$.

а) Докажите, что прямые $BM$ и $CN$ перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка $MN$, если площадь трапеции равна $4\sqrt{55}$.

Дан равносторонний треугольник $ABC$. На стороне $AC$ выбрана точка $M$, серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$, а сторону $BC$ в точке $K$.

а) Докажите, что угол $AEM$ равен углу $CMK$.

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK$, если $AM:CM=1:4$.

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Через точку $O$ провели прямую, параллельную основаниям трапеции.

а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.

б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если известно, что $AO=OC$ и данная прямая делит сторону $AB$ в отношении $AM:MB=2:3$.

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O$. На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM=MO$, $CN=NO$.

а) Докажите, что точки $M$, $N$ и $O$ лежат на одной прямой.

б) Найдите $AM:MB$, если известно, что $AO=OC$ и $BC:AD=1:7$.

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$.

а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4$.

б) Найдите сторону ромба, если $MN=3\sqrt{2}$.

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечена точка $D$ так, что $AB=BD$. Из вершины $B$ треугольника проведена биссектриса $BF$ угла $ABC$, которая пересекает прямую $AD$ в точке $E$. На прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK$.

а) Докажите, что $AB:BC=AE:EK$.

б) Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF$, если $BD:CD=5:2$.

Биссектриса $BB_{1}$ и высота $CC_{1}$ треугольника $ABC$ пересекают описанную окружность в точках $M$ и $N$. Известно, что угол $BCA$ равен $85^{\circ}$ и угол $ABC$ равен $40^{\circ}$.

а) Докажите, что $CN=BM$.

б) Пусть $MN$ и $BC$ пересекаются в точке $D$. Найти площадь треугольника $BDN$, если его высота $BH$ равна 7.

Отрезок $CH$ — высота прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$. На катетах $AC$ и $BC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно такие, что $\angle MHN = 90^{\circ}$.

а) Докажите, что треугольник $MNH$ подобен треугольнику $ABC$.

б) Найдите $CN$, если $AC = 12$, $MC = 3$, $BC = 8$.

Отрезок $CH$ — высота прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$. На катетах $AC$ и $BC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно такие, что $\angle MHN = 90^{\circ}$.

а) Докажите, что треугольник $MNH$ подобен треугольнику $ABC$.

б) Найдите $CN$, если $BC = 3$, $AC = 5$, $CM = 2$.

Даны 5 точек на окружности $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$, причём $AE = DE = CD$. $AC$ перпендикулярна $BE$. $BD$ пересекает $AC$ в точке $T$.

а) Докажите, что прямая $CE$ делит прямую $DT$ пополам.

б) Найдите площадь треугольника $ABT$, если $BD = 12$, $AE = 2\sqrt{3}$.

Даны 5 точек на окружности $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$, причём $AE = DE = CD$. $AC$ перпендикулярна $BE$. $BD$ пересекает $AC$ в точке $T$.

а) Докажите, что прямая $CE$ делит прямую $DT$ пополам.

б) Найдите площадь треугольника $ABT$, если $BD = 4$, $AE = \sqrt{2}$.

В равнобедренной трапеции меньшее основание $BC$ равно боковой стороне. На плоскости взяли точку $E$ такую, что прямая $BE$ перпендикулярна $AD$, а прямая $CE$ перпендикулярна $BD$.

а) Докажите, что $\angle AEB = \angle ADB$.

б) Найдите площадь $ABCD$, если $AB = 50$, $\cos \angle AEB = \frac{4}{5}$.