Числа и их свойства

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых пяти или шести чисел из записанных является целым числом.

а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 602 и 1512?

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 602?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат $n^{2}$ натурального числа $n$, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или семи чисел из записанных является целым числом.

а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414?

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 567?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число $n$ и его квадрат $n^{2}$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 035.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 325?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 7?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

Есть 28 монет по 2 рубля и 20 монет по 5 рублей.

а) Можно ли этими монетами набрать сумму 154 рубля?

б) Можно ли этими монетами набрать сумму 155 рублей?

в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 160 рублей включительно?

Есть 4 камня, каждый из которых массой 5 тонн, и 13 камней, каждый из которых массой 14 тонн.

а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 6 тонн?

б) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы суммарные массы камней в этих группах были равны?

в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?

Есть трёхзначное число $A$, которое записал Петя. Костя и Ваня вычёркивают по одной цифре в числе, в результате получаются двузначные числа $B$ и $C$, причём и Костя, и Ваня могут вычеркнуть одинаковые цифры.

а) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C$, если $A\gt 130$?

б) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C$, если $340\leqslant A\lt 400$?

в) Какое максимальное $A\lt 800$ соответствует условию?

Есть трёхзначное число $A$, которое записал Петя. Костя и Ваня вычёркивают по одной цифре в числе, в результате получаются двузначные числа $B$ и $C$, причём и Костя, и Ваня могут вычеркнуть одинаковые цифры.

а) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C$, если $A\gt 130$?

б) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C$, если $540\lt A\leqslant 600$?

в) Какое максимальное $A$ соответствует условию?

Из правильной дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, за один ход получают дробь $\frac{a+b}{2a+b}$.

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\frac{2}{3}$ получить дробь $\frac{29}{41}$?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь $\frac{6}{7}$?

в) Несократимая дробь $\frac{c}{d}$ меньше $0{,}7$. Найдите наибольшую дробь $\frac{c}{d}$, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за 2 таких хода.

Из правильной дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, за один ход получают дробь $\frac{a+b}{2a+b}$.

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\frac{2}{3}$ получить дробь $\frac{29}{41}$?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь $\frac{6}{7}$?

в) Несократимая дробь $\frac{c}{d}$ больше $0{,}7$. Найдите наименьшую дробь $\frac{c}{d}$, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за 2 таких хода.

Из пары натуральных чисел $(a;b)$ за один ход можно получить пару $(a+2;b-1)$ или $(a-1;b+2)$, при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара $(4;5)$.

а) Можно ли за 100 таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно $200$?

б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна $300$?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили $200$?

Из пары натуральных чисел $(a;b)$ за один ход можно получить пару $(a+2;b-1)$ или $(a-1;b+2)$, при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара $(7;11)$.

а) Можно ли за 20 таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно 50?

б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна 600?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили 50?

Для чисел $A$ и $B$, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили $S$ — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A=123$ и $B=579$ получается сумма $S=1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 9=46$.

а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S=100$?

б) Существуют ли пятизначные числа $A$ и $B$, для которых $S=400$?

в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой для некоторых четырёхзначных чисел $A$ и $B$?

На столе лежат три карточки, на каждой из которых написана одна цифра. Ваня составил из написанных на карточках цифр трёхзначное число $A$. Петя выбрал две из этих карточек, составил из написанных на них цифр двузначное число $B$ и вернул карточки на место. Коля тоже выбрал две из этих трёх карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число $C$ (возможно, что такое же, что и Петя).

а) Может ли быть верным равенство $A=B+C$, если $A\gt 150$?

б) Может ли быть верным равенство $A=B+C$, если числа $B$ и $C$ делятся на 9?

в) Найдите наименьшее число $A$, для которого может быть верным равенство $A=B+C$.

На доске написано трёхзначное число $A$. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число $B$, затем Коля записывает число $A$ и зачёркивает одну цифру (возможно ту же, что и Серёжа), и получает число $C$.

а) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C$, если $A\gt 140$?

б) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C$, если $440\leqslant A\lt 500$?

в) Найдите наибольшее число $A\lt 900$, чтобы было верным равенство $A=B\cdot C$.

Из пары натуральных чисел $(a;b)$, где $a\gt b$, за один ход получают пару $(a+b;a-b)$.

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(150;7)$ пару, большее число в которой равно $600$?

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(150;7)$ пару $(1224;1190)$?

в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a;b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(1224;1190)$?

Дано трёхзначное число $A$, сумма цифр которого равна $S$.

а) Может ли выполняться равенство $A\cdot S=3520$?

б) Может ли выполняться равенство $A\cdot S=1591$?

в) Найдите наибольшее произведение $A\cdot S\lt 3497$.

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 420?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 419?

в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.

а) Может ли это отношение быть равным 34?

б) Может ли это отношение быть равным 84?

в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?

На столе лежит $N$ монет по 2 рубля и $(1200 - N)$ монет по 5 рублей ($N$ — натуральное число от 1 до 1199). Оказалось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.

а) Может ли $N$ равняться 400?

б) Может ли $N$ равняться 600?

в) Сколько различных значений может принимать число $N$?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?