Найдем производную функции:
y=−34⋅xx+12x−24=−34⋅x1,5+12x−24
y′=−34⋅23x+12=−2x+12
Найдем точку максимума (y′=0)
−2x+12=0
12=2x
x=6
x=62=36
Найдем знак производной на отрезке (−∞;36), подставим в −2x+12 любое число из этого промежутка:
y′(25)=−2⋅25+12=-2\cdot 5+12=2>0 \Rightarrow функция y=−34⋅xx+12x−24 на этом участке будет возрастать.
Найдем знак производной на отрезке [36;∞), подставим в −2x+12 любое число из этого промежутка:
y′(49)=−2⋅49+12=−2⋅7+12=−14+12=-2 < 0 \Rightarrowфункция y=−34⋅xx+12x−24 на этом участке будет убывать.
Точка максимума x=36
Найдем наибольшее значение функции:
y(36)=−34⋅36⋅6+12⋅36−24=−4⋅2⋅36+432−24=−288+408=120