Задание 1109

Найдем производную функции:

$y=-\dfrac43 \cdot x\sqrt x+12x-24=$$-\dfrac43 \cdot x^{1,5}+12x-24$

$y'=-\dfrac43 \cdot \dfrac32 \sqrt x+12=$$-2\sqrt x+12$

Найдем точку максимума $(y' = 0)$

$$-2\sqrt x+12=0$$

$$12=2\sqrt x$$

$$\sqrt x=6$$

$$x=6^2=36$$

Найдем знак производной на отрезке $(-\infty; 36)$, подставим в $-2\sqrt x+12$ любое число из этого промежутка:

$y'(25)=-2\cdot \sqrt{25} +12=$$-2\cdot 5+12=2>0 \Rightarrow$ функция $y=-\dfrac43 \cdot x\sqrt x+12x-24$ на этом участке будет возрастать.

Найдем знак производной на отрезке $[36;\infty )$, подставим в $-2\sqrt x+12$ любое число из этого промежутка:

$y'(49)=-2\cdot \sqrt{49}+12=$$-2\cdot 7+12=-14+12=$$-2 < 0 \Rightarrow$функция $y=-\dfrac43 \cdot x\sqrt x+12x-24$ на этом участке будет убывать.

Точка максимума $x=36$

Найдем наибольшее значение функции:

$y(36)=$$-\dfrac43 \cdot 36\cdot 6+12\cdot 36-24=$$-4\cdot 2\cdot 36 +432-24=$$-288+408=120$