Задание 1119

Найдем производную функции:

$y=\dfrac23 x\sqrt x-3x+19=$$\dfrac23 x^{1,5}-3x+19$

$$y'=\dfrac23 \cdot \dfrac32 \sqrt x-3=\sqrt x-3$$

Найдем точки минимума и максимума:

$$\sqrt x-3=0$$

$$\sqrt x=3$$

$$x=9$$

Найдем знак производной на отрезке $(-\infty; 9]$, подставим в $\sqrt x-3$ любое число из этого промежутка:

$y'(4)=\sqrt{4}-3=2-3=-1$$<0 \Rightarrow$ функция $y=\frac23 \cdot x\sqrt{x} - 3x +19$ на этом участке будет убывать.

Найдем знак производной на отрезке $[9;\infty )$, подставим в $\sqrt x-3$ любое число из этого промежутка:

$y'(16)=\sqrt{16} - 3=4-3=1$$> 0 \Rightarrow$функция $y=\frac23 \cdot x\sqrt{x} - 3x +19$ на этом участке будет возрастать.

Точка минимума $x=9$

Найдем наименьшее значение функции:

$y(9)=\dfrac23 \cdot 9 \cdot 3-3\cdot 9+19=$$2\cdot 9-3\cdot 9+19=-9+19=10$