Найдем производную функции:

$y'=60-10\cdot \dfrac32 \sqrt x=$ $y=31+60x - 10x\sqrt{x}$

Найдем точку экстремума $(y' = 0)$ :

$60-15\sqrt x=0$

$60=15\sqrt x$

$\sqrt x=\dfrac{60}{15}=4$

$x=4^2=16$

Найдем знак производной на отрезке $(-\infty; 16)$ , подставим в $-3\sqrt x+18$ любое число из этого промежутка:

$y'(4)=60-15\cdot \sqrt{4}=$ $60-15\cdot 2=60-30=30>0 \Rightarrow$ функция $y=31+60x - 10x\sqrt{x}$ на этом участке будет возрастать.

Найдем знак производной на отрезке $[16;\infty )$ , подставим в $-3\sqrt x+18$ любое число из этого промежутка:

$y'(25)=60-15\cdot \sqrt{25}=$ $60-15\cdot 5=60-75=$ $-15< 0 \Rightarrow$ функция $y=31+60x - 10x\sqrt{x}$ на этом участке будет убывать.

Точка максимума $x=16$

Найдем наибольшее значение функции:

$y(16)=$ $31+60\cdot 16 - 10\cdot 16\cdot 4=$ $31+960 - 640=31+320=351$

Прототип задания