Задание 1113

Найдем производную функции:

$y=\dfrac56 x\sqrt x-15x+29=$$\dfrac56 \cdot x^{1,5}-15x+29$

$$y'=\dfrac56 \cdot \dfrac32 \sqrt x-15=\frac{5}{4}\sqrt{x} - 15$$

Найдем точки минимума и максимума:

$$\dfrac54 \sqrt x-15=0$$

$$\dfrac54 \sqrt x=15$$

$$\sqrt x=15 \cdot \dfrac45$$

$$\sqrt x=12$$

$$x=144$$

Найдем знак производной на отрезке $(-\infty; 144)$, подставим в $\dfrac54 \sqrt x-15$ любое число из этого промежутка:

$y'(25)=\frac{5}{4}\sqrt{25}-15=$$\frac{5\cdot 5}{4} -15=\frac{25}4 -15=$$-8,75<0 \Rightarrow$ функция $y=\dfrac56 x\sqrt x-15x+29$ на этом участке будет убывать.

Найдем знак производной на отрезке $[144;\infty )$, подставим в $\dfrac54 \sqrt x-15$ любое число из этого промежутка:

$y'(169)=\frac54\cdot 13 -15=$$\frac{65}4 - 15=16,25 - 15=$$1,25>0 \Rightarrow$функция $y=\dfrac56 x\sqrt x-15x+29$ на этом участке будет возрастать.

Точка минимума $x=144$

$y(144)=$$\frac{5}{6}\cdot 144\cdot 12 - 15\cdot 144+29=$$5\cdot 2\cdot 144 -15\cdot 144+29=$$-5\cdot 144+29=-720+29=$$-691$