Задание 1182

Достроим чертеж. Проведем $AC$ и обозначим высоту $SH$:

Пирамида $SABCD$ правильная $\Rightarrow$ $ABCD$ -квадрат $\Rightarrow$ его площадь можно найти как площадь ромба:

$S_{ABCD} = \frac12\cdot AC\cdot BD$, $AC=BD\Rightarrow S_{ABCD} = \frac12\cdot AC^2$

$CH = \frac12AC$ (точка $H$ - центр диагоналей квадрата, т.к. через эту точку проходит высота пирамиды)

$\triangle SHC$ - прямоугольный $\Rightarrow$ по теореме Пифагора $CH=\sqrt{SC^2 - SH^2}=$$\sqrt{7^2 - 5^2}=\sqrt{49-25}=\sqrt{24}=$$2\sqrt{6}$

$$AC = 2\cdot CH = 2\cdot 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$$

$S_{ABCD}=\frac12\cdot AC^2=$$\frac12\cdot (4\sqrt{6})^2=\frac12\cdot 16\cdot 6=$$16\cdot 3=48$

Найдем объем пирамиды по формуле:

$V_{SABCD}=\frac13\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=$$\frac13\cdot 48\cdot 5=16\cdot 5=80$