Задание 1222

Достроим чертеж. Проведем $AC$ и обозначим высоту $SH$:

Пирамида $SABCD$ правильная $\Rightarrow$ $ABCD$ -квадрат $\Rightarrow$ его площадь можно найти как площадь ромба:

$S_{ABCD} = \frac12\cdot AC\cdot BD$, $AC=BD\Rightarrow S_{ABCD} = \frac12\cdot AC^2$

$CH = \frac12AC$ (точка $H$ - центр диагоналей квадрата, т.к. через эту точку проходит высота пирамиды)

$\triangle SHC$ - прямоугольный $\Rightarrow$ по теореме Пифагора $CH=\sqrt{SC^2 - SH^2}=$$\sqrt{15^2 - 9^2}=\sqrt{225-81}=$$\sqrt{144}=$$12$

$$AC = 2\cdot CH = 2\cdot 12 = 24$$

$S_{ABCD}=\frac12\cdot AC^2=$$\frac12\cdot 24^2=24\cdot12$$=288$

Найдем объем пирамиды по формуле:

$V_{SABCD}=\frac13\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=$$\frac13\cdot 288\cdot 9=288\cdot 3=864$