Задание 3116

Достроим чертеж. Проведем $AC$ и обозначим высоту $SH$:

Пирамида $SABCD$ правильная $\Rightarrow$ $ABCD$ -квадрат $\Rightarrow$ его площадь можно найти как площадь ромба:

$S_{ABCD} = \frac12\cdot AC\cdot BD$, $AC=BD\Rightarrow S_{ABCD} = \frac12\cdot AC^2$

$CH = \frac12AC$ (точка $H$ - центр диагоналей квадрата, т.к. через эту точку проходит высота пирамиды)

$\triangle SHC$ - прямоугольный $\Rightarrow$ по теореме Пифагора $CH=\sqrt{SC^2 - SH^2}=$$\sqrt{8^2 - 4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=$$4\sqrt{3}$

$$AC = 2\cdot CH = 2\cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$

$S_{ABCD}=\frac12\cdot AC^2=$$\frac12\cdot (8\sqrt{3})^2=\frac12\cdot 64\cdot 3=$$32\cdot 3=96$

Найдем объем пирамиды по формуле:

$V_{SABCD}=\frac13\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=$$\frac13\cdot 96\cdot4=32\cdot 4=128$