Задание 795 — Текстовые задачи

Расстояние между городами $A$ и $B$ равно $600$ км. Из города $A$ в город $B$ выехал автомобилист, а через час вслед за ним со скоростью $180$ км/ч выехал мотоциклист, который догнал его в городе $C$ , а затем повернул обратно и вернулся в город $A$ ровно тогда, когда автомобилист доехал до города $B$ . Найдите расстояние от города $A$ до города $C$ . Ответ дайте в километрах.

Пусть расстояние от города $A$ до города $C$ равно $x$ км, а скорость автомобилиста обозначим за $y$ . Заполним таблицу по отрезку пути от $A$ до $C$

	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)	$S$ (км)
Автомобилист	$y$	$\frac{x}y$	$x$
Мотоциклист	$180$	$\frac{x}{180}$	$x$

Мотоциклист выехал на $1$ час позже. Можно составить уравнение:

$\dfrac xy=\dfrac x{180}+1$

Теперь рассмотрим весь путь автомобилиста и мотоциклиста:

	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)	$S$ (км)
Автомобилист	$y$	$\frac{600}y$	$600$
Мотоциклист	$180$	$\frac{2x}{180}=\frac{x}{90}$	$2x$

Мотоциклист выехал на 1 час позже. Можно составить уравнение:

$\dfrac{600}y=\dfrac x{90}+1$

Решим систему и найдем $x$ :

$\begin{cases}\dfrac xy=\dfrac x{180}+1 \\ \dfrac{600}y=\dfrac x{90}+1\end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$\dfrac{600}y=\dfrac x{90}+\dfrac{90}{90}$

$\dfrac{600}y=\dfrac{x+90}{90}$

$y=600:\dfrac{x+90}{90}=\frac{600\cdot 90}{x+90}=$ $\dfrac{54000}{x+90}$

Подставим в первое уравнение:

$\dfrac{x(x+90)}{54000}=\dfrac x{180}+1$

$\frac{x^2+90x}{54000}-\dfrac x{180}=1$

$\frac{x^2+90x-300x}{54000}=1$

$x^2-210x=54000$

$x^2-210x-54000=0$

$D=$ $(-210)^2-4\cdot 1\cdot (-54000)=$ $44100+216000=260100$

$x_1=\frac{-(-210)+\sqrt{260100} }{2}=$ $\dfrac{210+510}2=\dfrac{720}2=360$ км - расстояние от $A$ до $C$

$x_2=\dfrac{210-510}2=\dfrac{-300}2=-150$ - не подходит, т.к. путь не может быть отрицательным

Задания этого прототипа