Задание 3205 — Текстовые задачи

Расстояние между городами $A$ и $B$ равно $180$ км. Из города $A$ в город $B$ выехал автомобилист, а через час вслед за ним со скоростью $54$ км/ч выехал мотоциклист, который догнал его в городе $C$ , а затем повернул обратно и вернулся в город $A$ ровно тогда, когда автомобилист доехал до города $B$ . Найдите расстояние от города $A$ до города $C$ . Ответ дайте в километрах.

Пусть расстояние от города $A$ до города $C$ равно $x$ км, а скорость автомобилиста обозначим за $y$ . Заполним таблицу по отрезку пути от $A$ до $C$

	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)	$S$ (км)
Автомобилист	$y$	$\frac{x}y$	$x$
Мотоциклист	$54$	$\frac{x}{54}$	$x$

Мотоциклист выехал на $1$ час позже. Можно составить уравнение:

$\dfrac xy=\dfrac x{54}+1$

Теперь рассмотрим весь путь автомобилиста и мотоциклиста:

	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)	$S$ (км)
Автомобилист	$y$	$\frac{180}y$	$180$
Мотоциклист	$54$	$\frac{2x}{54}=\frac{x}{27}$	$2x$

Мотоциклист выехал на 1 час позже. Можно составить уравнение:

$\dfrac{180}y=\dfrac x{27}+1$

Решим систему и найдем $x$ :

$\begin{cases}\dfrac xy=\dfrac x{54}+1 \\ \dfrac{180}y=\dfrac x{27}+1\end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$\dfrac{180}y=\dfrac{x+27}{27}$

$y=180:\dfrac{x+27}{27}=180\cdot \dfrac{27}{x+27}=\dfrac{4860}{x+27}$

Подставим в первое уравнение:

$x:\dfrac{4860}{x+27}=\dfrac x{54}+1$

$\dfrac{x(x+27)}{4860}=\dfrac{x+54}{54}$

$54x(x+27)=4860(x+54)$

$x(x+27)=90(x+54)$

$x^2+27x=90x+90\cdot 54$

$x^2+27x-90x-4860=0$

$x^2-63x-4860=0$

$D=(-63)^2-4\cdot (-4860)=3969+19440=23409$

$x_1=\frac{-(-63)+\sqrt{23409} }{2}=\dfrac{63+153}2=\dfrac{216}2=108$

$x_2=\dfrac{63-153}2=\dfrac{-90}2=-45$ - не подходит, т.к. путь не может быть отрицательным

Прототип задания