Задание 1179

Многогранник $ABCA_1B_1C_1$ является треугольной прямой призмой. Её объем будет вычисляется по формуле:

$$V_{ABCA_1B_1C_1} = h\cdot S_{\text{осн}} = 8\cdot S_{\triangle ABC}$$

Найдем площадь треугольника $ABC$. Он входит в правильный шестиугольник основания $ABCDEF\Rightarrow$

$\angle BAC=120^{\circ} \Rightarrow S_{\triangle ABC}=$$\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin 120^{\circ}$

Пусть сторона шестиугольника равна $x$, тогда $S_{\triangle ABC}=$$\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin 120^{\circ}=$$\frac12 \cdot x^2\cdot \sin120^{\circ}$

Площадь правильного шестиугольника $S_{ABCDEF}=6\cdot \frac{x^2\cdot \sqrt{3}}{4}=$$\frac{3\sqrt{3}\cdot x^2}{2}$

Найдем $x^2$:

$$24=\frac{3\sqrt{3}\cdot x^{2}}{2}$$

$$3\sqrt3 \cdot x^2=48$$

$$\sqrt3 \cdot x^2=16$$

$$x^2=\dfrac{16}{\sqrt{3}}$$

$$S_{\triangle ABC} = \dfrac12\cdot \frac{16}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4$$

Найдем объем $V_{ABCA_1B_1C_1} = 8\cdot 4 = 32$