Задание 1187

Многогранник $AFEA_1F_1E_1$ является треугольной прямой призмой. Её объем будет вычисляется по формуле:

$V_{AFEA_1F_1E_1} = h\cdot S_{\text{осн}} =$$14\cdot S_{\triangle AFE}$

Найдем площадь треугольника $AFE$. Он входит в правильный шестиугольник основания $ABCDEF\Rightarrow$

$\angle AFE=120^{\circ} \Rightarrow S_{\triangle AFE}=$$\frac12\cdot AF\cdot FE\cdot \sin 120^{\circ}$

Пусть сторона шестиугольника равна $x$, тогда $S_{\triangle AFE}=$$\frac12\cdot FE\cdot AF\cdot \sin 120^{\circ}=$$\frac12 \cdot x^2\cdot \sin120^{\circ}$

Площадь правильного шестиугольника $S_{ABCDEF}=6\cdot \frac{x^2\cdot \sqrt{3}}{4}=$$\frac{3\sqrt{3}\cdot x^2}{2}$

Найдем $x^2$:

$$18=\frac{3\sqrt{3}\cdot x^{2}}{2}$$

$$3\sqrt3 \cdot x^2=36$$

$$\sqrt3 \cdot x^2=12$$

$$x^2=\dfrac{12}{\sqrt{3}}$$

$S_{\triangle AFE}=\dfrac12\cdot \frac{12}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$$3$

Найдем объем $V_{AFEA_1F_1E_1} = 3\cdot 14= 42$