Задание 1156

Найдем производную функции:

$$f'(g(x) )=f'(g(x) )\cdot g'(x)$$

$y'=$$\frac{0,5}{\sqrt{-48-32x-4x^2}}\cdot (-32-8x)=$$\frac{-32-8x}{2\sqrt{-48-32x-4x^2}}=$$\frac{-4x-16}{\sqrt{-48-32x-4x^2}}=$$\frac{-4x-16}{\sqrt{4(-12-8x-x^2)}}=$$\frac{2(-2x-8)}{2\sqrt{-12-8x-x^2}}=$$\frac{-2x-8}{\sqrt{-12-8x-x^2}}$

Найдем точки минимума и максимума:

$$\frac{-2x-8}{\sqrt{-12-8x-x^2}}=0$$

ОДЗ:$\sqrt{-12-8x-x^2} \neq 0$

$$-12-8x-x^2>0$$

$$-12-8x-x^2\neq 0$$

$$x^2+8x+12=0$$

$$D=8^2-4\cdot 12=64-48=16$$

$x_1=\frac{-8+\sqrt{16}}{2}=\frac{-8+4}{2}=$$-\frac42=-2\Rightarrow x\neq2$

$$x_2=\frac{-8-4}{2}=-6\Rightarrow x\neq-6$$

График функции $y=-12-8x-x^2$ имеет вид параболы, ветви которой направлены вниз $\Rightarrow$ $-12-8x-x^2>0$ при $x\in (-6;-2)$

$$-2x-8=0$$

$$2x=-8$$

$$x=-4$$

$y'(-5)=$$\frac{-2\cdot (-5)-8}{\sqrt{-12-8\cdot (-5)-(-5)^2}}=$$\frac{10-8}{\sqrt{-12+40-25}}=\frac{2}{\sqrt{3}}>0$

$y'(-3)=$$\frac{-2\cdot(-3)-8 }{\sqrt{-12-8\cdot (-3)-(-3)^2}}=$$\frac{6-8}{\sqrt{-12+24-9}}=\frac{-2}{\sqrt{\sqrt{3}}}<0$

$x=-4$ - точка максимума, потому что в этой точке производная меняет знак с положительного на отрицательный.

Найдем наибольшее значение функции:

$y(-4)=$$\sqrt{-48-32\cdot (-4)-4\cdot (-4)^2}=$$\sqrt{-48+128-64}=\sqrt{80-64}=$$\sqrt{16}=4$