Найдем производную функции:

$f'(g(x) )=f'(g(x) )\cdot g'(x)$

$y'=$ $\frac{0,5}{\sqrt{4x^2+48x+160}}\cdot (8x+48)=$ $\frac{8x+48}{2\sqrt{4x^2+48x+160}}=$ $\frac{4x+24}{\sqrt{4x^2+48x+160}}$

Найдем максимумы и минимумы функции:

$\frac{4x+24}{\sqrt{4x^2+48x+160}}=0$

ОДЗ: $\sqrt{4x^2+48x+160} \neq 0$

$4x^2+48x+160 \neq 0$

$x^2+12x+40 \neq 0$

$D=12^2-4\cdot 40=144-160=$ $-16< 0 \Rightarrow$ корней нет $\Rightarrow x$ -любое

$4x+24=0$

$4x=-24$

$x=-6$

$y'(-7)=$ $\frac{4\cdot (-7)+24}{\sqrt{4\cdot (-7)^2+48\cdot (-7)+160}}=$ $\frac{-28+24}{\sqrt{4\cdot 49-336+160}}=\frac{-4}{\sqrt{20}}<0$

$y'(0)=\frac{4\cdot 0+24}{\sqrt{4\cdot 0+48\cdot 0+160}}=$ $\frac{24}{\sqrt{160}}>0$

$x=-6$ - точка минимума, потому что в этой точке производная меняет знак с отрицательного на положительный.

Найдем наименьшее значение выражения:

$y(-6)=$ $\sqrt{4\cdot (-6)^2-48\cdot 6+160}=$ $\sqrt{4\cdot 36-288+160}=$ $\sqrt{144-128}=\sqrt{16}=4$

Прототип задания