Найдем производную функции:

$f'(g(x))=f'(g(x) )\cdot g'(x)$

$y'=$ $\frac{0,5}{\sqrt{9x^2-90x+261 }} \cdot (18x-90)=$ $\frac{18x-90}{2\sqrt{9x^2-90x+261 }}=$ $\frac{9x-45}{\sqrt{9x^2-90x+261}}$

Найдем максимумы и минимумы функции:

$\frac{9x-45}{\sqrt{9x^2-90x+261}}=0$

ОДЗ: $9x^2-90x+261 \neq 0$

$x^2-10x+29 \neq 0$

$D=(-10)^2-4\cdot 29=$ $100-116=-16< 0$ -корней нет $\Rightarrow$ $x$ -любое

$9x-45=0$

$9x=45$

$x=5$

$y'(0)=\frac{9\cdot 0-45}{\sqrt{9\cdot 0-90\cdot 0+261}}=$ $\frac{-45}{\sqrt{261}}<0$

$y'(6)=\frac{9\cdot 6-45}{\sqrt{9\cdot 6^2-90\cdot 6+261}}=$ $\frac{54-45}{\sqrt{9\cdot 36-540+261}}=\frac{9}{\sqrt{45}}>0$

$x=5$ - точка минимума, потому что в этой точке производная меняет знак с отрицательного на положительный.

Найдем наименьшее значение функции:

$y(5)=\sqrt{9\cdot 5^2-90\cdot 5+261}=$ $\sqrt{9\cdot 25-450+261}=$ $\sqrt{225-450+261}=$ $\sqrt{261-225}=\sqrt{36}=6$

Прототип задания