Задание 1163

Найдем производную функции:

$y'=$$2(x+19)\cdot e^{11-x}+$$(-1)\cdot e^{11-x} \cdot (x+19)^2=$$(2x+38)\cdot e^{11-x}-$$e^{11-x} \cdot (x^2+38x+361)=$$e^{11-x} (2x+38-x^2-38x-361)$$=e^{11-x} (-x^2-36x-323)$

Найдем максимумы и минимумы функции:

$$e^{11-x} (-x^2-36x-323)=0$$

$e^{11-x}$ всегда $>0$

$$-x^2-36x-323=0$$

$$x^2+36x+323=0$$

$D=36^2-4\cdot 323=$$1296-1292=4$

$x_1=\frac{-36+\sqrt4 }{2}=\dfrac{-36+2}2=$$\dfrac{-34}2=-17$

$$x_2=\dfrac{-36-2}2=-\dfrac{38}2=-19$$

График функции $x^2+36x+323$ будет иметь вид параболы, ветви которой направлены вверх, и пересекает ось $X$ в точках $x=-19, x=-17$ $\Rightarrow$ 

На интервале $(-\infty ;-19]$ производная будет положительная $\Rightarrow$функция будет возрастать.

На интервале $[-19;-17]$ производная будет отрицательная $\Rightarrow$ функция будет убывать.

На интервале $[-17;\infty )$ производная будет положительная $\Rightarrow$ функция будет возрастать

$\Rightarrow$ точка максимума $x=-19$