Задание 1161

Найдем производную функции:

$y'=3x^2-14\cdot 2x+32=$$3x^2-28x+32$

Найдем максимумы и минимумы функции:

$$3x^2-28x+32=0$$

$D=(-28)^2-4\cdot 3\cdot 32=$$784-384=400$

$x_1=\frac{-(-28)+\sqrt{400} }{3\cdot 2}=$$\dfrac{28+20}6=\dfrac{48}6=8$

$$x_2=\dfrac{28-20}6=\dfrac86=\dfrac43$$

График функции $3x^2-28x+32$ будет иметь вид параболы, ветви которой направлены вверх, и пересекает ось $X$ в точках $x=\dfrac43 , x=8$ $\Rightarrow$ 

На интервале $\left(-\infty ;\dfrac43 \right]$ производная будет положительная $\Rightarrow$функция будет возрастать.

На интервале $\left[\dfrac43 ;8\right]$ производная будет отрицательная $\Rightarrow$ функция будет убывать.

На интервале $[8;\infty )$ производная будет положительная $\Rightarrow$ функция будет возрастать

$\Rightarrow$ точка минимума $x=8$

Найдем наименьшее значение функции:

$y(8)=8^3-14\cdot 8^2+32\cdot 8+4=$$8^2 (8-14+4)+4=$$-2\cdot 8^2+4=-2\cdot 64+4=$$-128+4=-124$