Найдем производную функции:

$y'=2e^{2x}-6e^x$

Найдем максимумы и минимумы функции:

$2e^{2x}-6e^x=0$

Пусть $e^x=t$ , тогда:

$2t^2-6t=0$

$2t(t-3)=0$

$1)2t=0$

$t_1=0$

$e^x=0$ -не имеет решения

$2)t-3=0$

$t_2=3$

$e^x=3$

$x=\ln3$

Найдем знак производной на отрезке $(-\infty; \ln3)$ , подставим в $y'=2e^{2x}-6e^x$ любое число из этого промежутка:

$y'(0)=2\cdot e^{2\cdot 0}-6\cdot e^0=2-6=$ $-4 < 0 \Rightarrow$ функция $y=2e^{2x}-6e^x$ на этом участке будет убывать.

Найдем знак производной на отрезке $(\ln3; \infty)$ , подставим в $y'=2e^{2x}-6e^x$ любое число из этого промежутка:

$y'(\ln4)=2\cdot e^{2\cdot \ln4}-6\cdot e^{\ln4}=$ $2\cdot (e^{\ln4} )^2-6\cdot 4=2\cdot 4^2-24=$ $32-24=8 >0$ $\Rightarrow$ функция $y=2e^{2x}-6e^x$ на этом участке будет возрастать.

Точка минимума $x=\ln3$

Найдем наименьшее значение функции:

$y(\ln3)=e^{2\cdot \ln3}-6\cdot e^{\ln3}+12=$ $(e^{\ln3} )^2-6\cdot 3+12=$ $3^2-18+12=9-6=3$

Прототип задания