Задание 1155

Найдем производную функции:

$y'=1\cdot e^{x-31}+(x-32) \cdot e^{x-31}=$$e^{x-31} \cdot (1+x-32)=$$e^{x-31} (x-31)$

Найдем точки минимума и максимума:

$$e^{x-31} (x-31)=0$$

$e^{x-31}$-всегда положительное

$$x-31=0$$

$$x=31$$

$e^{x-31}$ - всегда положительное $\Rightarrow$ знак производной будет определять $x-31$

Найдем знак производной на отрезке $(-\infty ;31]$, подставим в $x-31$ любое число из этого промежутка:

$(30-31) = -1<0 \Rightarrow$ функция $y = (x-32)e^{x-31}$ на этом участке будет убывать.

Найдем знак производной на отрезке $[31;\infty )$, подставим в $x-31$ любое число из этого промежутка:

$(33-31) = 2>0\Rightarrow$ функция $y = (x-32)e^{x-31}$ на этом участке будет возрастать.

Точка минимума - это $x=31$

Найдем значение функции в этой точке:

$y=(31-32)e^{31-31}=-1\cdot e^0=$$-1$