Найдем производную функции:

$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)} \right)'=$ $\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x) }{g^2 (x)}$

$y'=\frac{2x^2-(x^2+289)\cdot 1}{x^2 }=$ $\frac{2x^2-x^2-289}{x^2 }=\frac{x^2-289}{x^2 }$

Найдем точки минимума и максимума:

$\frac{x^2-289}{x^2 }=0$

ОДЗ: $x^2 \neq 0$

$x\neq 0$

$x^2-289=0$

$x^2=289$

$x_1=17$

$x_2=-17$

$x^2$ - всегда положительное $\Rightarrow$ знак производной будет определять $x^2 - 289$

График функции $y=x^2 - 289$ будет иметь вид параболы, ветви которой направлены вверх, и пересекает ось $X$ в точках $x=-17, x=17$ $\Rightarrow$

На интервале $(-\infty ;-17]$ производная будет положительная $\Rightarrow$ функция будет возрастать

На интервале $[-17;17]$ производная будет отрицательная $\Rightarrow$ функция будет убывать

На интервале $[17;\infty )$ производная будет положительная $\Rightarrow$ функция будет возрастать

$\Rightarrow$ точка максимума $x=-17$

Прототип задания