Найдем производную функции:

$y'=$ $(x^2-11x+11)\cdot e^{x+1}+$ $(2x-11)\cdot e^{x+1}=$ $e^{x+1} \cdot (x^2-11x+11+2x-11)$ $=e^{x+1} \cdot (x^2-9x)$

Найдем точки минимума и максимума:

$e^{x+1} \cdot (x^2-9x)=0$

$e^{x+1}$ всегда $>0$

$x^2-9x=0$

$x(x-9)=0$

$x_1=0$

$x-9=0$

$x_{2}= 9$

$e^{x+1}$ - всегда положительное $\Rightarrow$ знак производной будет определять $x^2 - 9x$

График функции $y=x^2 - 9x$ будет иметь вид параболы, ветви которой направлены вверх, и пересекает ось $X$ в точках $x=0, x=9$ $\Rightarrow$

На интервале $(-\infty ;0]$ производная будет положительная $\Rightarrow$ функция будет возрастать.

На интервале $[0;9]$ производная будет отрицательная $\Rightarrow$ функция будет убывать.

На интервале $[9;\infty )$ производная будет положительная $\Rightarrow$ функция будет возрастать

$\Rightarrow$ точка минимума $x=9$

Прототип задания