Задание 1142

Найдем производную функции:

$y'=2\cdot 3x^2-16\cdot 2x+32=$$6x^2-32x+32$

Найдем точки максимума и минимума функции:

$$6x^2-32x+32=0$$

$$3x^2-16x+16=0$$

$D=(-16)^2-4\cdot 3\cdot 16=$$256-192=64$

$x_1=\frac{-(-16)+\sqrt{64} }{2\cdot 3}=\dfrac{16+8} 6=$$\dfrac{24}6=4$

$$x_2=\dfrac{16-8}6=\dfrac86=\dfrac4{3}=1\dfrac13$$

График производной $6x^2-32x+32$ будет иметь вид параболы, ветви которой направлены вверх, и пересекает ось $X$ в точках $x=4,$$x=1\frac13$ $\Rightarrow$ 

На интервале $\left(-\infty ;1\frac13\right]$ производная будет положительная $\Rightarrow$функция будет возрастать.

На интервале $\left[1\frac13;4\right]$ производная будет отрицательная $\Rightarrow$ функция будет убывать.

На интервале $[4;\infty )$ производная будет положительная $\Rightarrow$  функция будет возрастать $\Rightarrow$

Точка максимума $x=1\frac13$, точка минимума $x=4$

Найдем наименьшее значение функции на отрезке $[-1;9]$

$y(4)=$$2\cdot 4^3-16\cdot 4^2+32\cdot 4+9=$$2\cdot 64-256+128+9=$$256-256+9=9$