Задание 1141

Найдем производную функции:

$y'=\dfrac15 \cdot 5 \cdot x^4+3x^2-304=$$x^4+3x^2-304$

Найдем точки максимума и минимума функции:

$$x^4+3x^2-304=0$$

Пусть $x^2=t$, $t\geqslant 0$

$$t^2+3t-304=0$$

$D=3^2-4\cdot (-304)=$$9+1216=1225$

$t_1=\frac{-3+\sqrt{1225} }{2}=\dfrac{-3+35}2=$$\dfrac{32}2=16$

$t_2=\dfrac{-3-35}2=-\dfrac{38}2=-19$-не подходит, т.к. $x^2$ не может быть отрицательным

$$x^2=16$$

$$x_1=4$$

$$x_2=-4$$

Определим знак производной в промежутке $(-\infty; - 4]$, подставив какое-нибудь число из этого промежутка в формулу производной:

$y'(-5)=$$(-5)^4+3(-5)^2-304=$$625+3\cdot 25-304=$$700-304=396>0 \Rightarrow$ функция в этом промежутке возрастает. 

Определим знак производной в промежутке $[-4; 4]$, подставив какое-нибудь число из этого промежутка в формулу производной:

$y'(1)=1^4+3\cdot 1^2-304=$$3-304=-301< 0 \Rightarrow$функция в этом промежутке убывает.

Определим знак производной в промежутке $[4;\infty )$, подставив какое-нибудь число из этого промежутка в формулу производной:

$y'(5)=5^4+3\cdot 5^2-304=$$625+75-304=700-304=$$396>0 \Rightarrow$ функция в этом промежутке возрастает.

Точкой максимума является $x=-4$ на отрезке $[-6;1]$

Значение функции в этой точке:

$y(-4)=$$\dfrac15 \cdot (-4)^5+(-4)^3-304\cdot (-4)=$$-\dfrac{1024}5-64+1216=$$-204,8+1152=947,2$