Найдем производную функции:

$y'=$ $(x-11)^2 \cdot e^{x+9}+$ $2(x-11) \cdot e^{x+9}=$ $e^{x+9} \cdot (x^2-22x+121+2x-22)$ $=e^{x+9} (x^2-20x+99)$

Найдем точки минимума и максимума:

$e^{x+9} (x^2-20x+99)=0$

$e^{x+9}$ всегда $>0$

$x^2-20x+99=0$

$D=(-20)^2-4\cdot 99=$ $400-396=4$

$x_1=\frac{-(-20)+\sqrt4 }{2}=\dfrac{20+2}2=$ $\dfrac{22}2=11$

$x_2=\dfrac{20-2}2=\dfrac{18}2=9$

$e^{x+9}$ - всегда положительное $\Rightarrow$ знак производной будет определять $x^2-20x+99$

График функции $y=x^2-20x+99$ будет иметь вид параболы, ветви которой направлены вверх, и пересекает ось $X$ в точках $x=9, x=11$ $\Rightarrow$

На интервале $(-\infty ;9]$ производная будет положительная $\Rightarrow$ функция будет возрастать.

На интервале $[9;11]$ производная будет отрицательная $\Rightarrow$ функция будет убывать.

На интервале $[11;\infty )$ производная будет положительная $\Rightarrow$ функция будет возрастать

$\Rightarrow$ точка минимума $x=11$

Прототип задания