Задание 1131

Найдем производную функции: 

$(f(x)\cdot g(x) )'=$$f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

$y'=$$( (x-5)^2 )'\cdot (x+2)+$$(x-5)^2 \cdot (x+2)'=$$2(x-5)(x+2)+(x-5)^2=$$(x-5)(2(x+2)+(x-5) )=$$(x-5)(2x+4+x-5)=$$(x-5)(3x-1)$

Найдем точки минимума и максимума функции:

$$(x-5)(3x-1)=0$$

$$x-5=0$$

$$x_1=5$$

$$3x-1=0$$

$$3x=1$$

$$x_2=\dfrac13$$

График производной $(x-5)(3x-1)$ будет иметь вид параболы, ветви которой направлены вверх, которая пересекает ось $X$ в точках $x=\frac13,$$x=5$ $\Rightarrow$ 

На интервале $\left(-\infty ;\frac13\right]$ производная будет положительная $\Rightarrow$функция будет возрастать.

На интервале $\left[\frac13;5\right]$ производная будет отрицательная $\Rightarrow$ функция будет убывать.

На интервале $[5;\infty )$ производная будет положительная $\Rightarrow$  функция будет возрастать

$\Rightarrow$ точка максимума $x=\frac13$, точка минимума $x=5$

$x=5$ входит в промежуток $[3;10]$

Наименьшее значение функции на этом интервале:

$y=(5-5)^2(5+2)+14=$$0\cdot 7 + 14=14$