Задание 1129

Найдем производную функции:

$y'=$$(x+9)^2 \cdot e^{7+x}+2(x+9)\cdot e^{7+x}=$$(x^2+18x+81)\cdot e^{7+x}+$$(2x+18)\cdot e^{7+x}=$$e^{7+x} \cdot (x^2+18x+2x+81+18)$$=e^{7+x} \cdot (x^2+20x+99)$

Найдем точки минимума и максимума:

$$e^{7+x} \cdot (x^2+20x+99)=0$$

$e^{7+x}$ - всегда положительное

$$x^2+20x+99=0$$

$$D=20^2-4\cdot 99=400-396=4$$

$$x_1=\frac{-20+\sqrt4 }2=\dfrac{-18}2=-9$$

$$x_2=\dfrac{-20-2}2=\dfrac{-22}2=-11$$

$e^{7+x}$ - всегда положительное $\Rightarrow$ знак производной будет определять $x^2+20x+99$

График функции $y=x^2+20x+99$ будет иметь вид параболы, ветви которой направлены вверх, и пересекает ось $X$ в точках $x=-11, x=-9$ $\Rightarrow$ 

На интервале $(-\infty ;-11]$ производная будет положительная $\Rightarrow$функция будет возрастать.

На интервале $[-11;-9]$ производная будет отрицательная $\Rightarrow$ функция будет убывать.

На интервале $[-9;\infty )$ производная будет положительная $\Rightarrow$  функция будет возрастать

$\Rightarrow$ точка максимума $x=-11$