Найдем производную функции:

$y'=$ $(x-6)^2 \cdot (e^{x+9} )'+$ $2(x-6)\cdot e^{x+9}=$ $(x^2-12x+36)\cdot e^{x+9}+$ $(2x-12)\cdot e^{x+9}=$ $e^{x+9} (x^2-12x+2x+36-12)=$ $e^{x+9} (x^2-10x+24)$

Найдем точки минимума и максимума:

$e^{x+9} (x^2-10x+24)=0$

$e^{x+9}$ - всегда положительное

$x^2-10x+24=0$

$D=(-10)^2-4\cdot 24=$ $100-96=4$

$x_1=\dfrac{-(-10)+\sqrt{4}}2=\dfrac{10+2}2=$ $\dfrac{12}2=6$

$x_2=\dfrac{10-2}2=\dfrac82=4$

$e^{x+9}$ - всегда положительное $\Rightarrow$ знак производной будет определять $x^2-10+24$

График функции $y=x^2-10+24$ будет иметь вид параболы, ветви которой направлены вверх, и пересекает ось $X$ в точках $x=4, x=6$ $\Rightarrow$

На интервале $(-\infty ;4]$ производная будет положительная $x^2-10+24$ функция будет возрастать.

На интервале $[4;6]$ производная будет отрицательная $\Rightarrow$ функция будет убывать.

На интервале $[6;\infty )$ производная будет положительная $\Rightarrow$ функция будет возрастать

$\Rightarrow$ точка минимума $x=6$

Прототип задания