Задание 1125

Найдем производную функции:

$y'=2\cdot 2x-51+\dfrac{162}{x}+0=$$4x-51+\dfrac{162}x$

Найдем точки минимума и максимума:

$$4x-51+\dfrac{162}x=0$$

$$4x^2-51x+162=0$$

$D=(-51)^2-4\cdot 4\cdot 162=$$2601-2592=9$

$x_1=\frac{-(-51)+\sqrt9 }{4\cdot 2}=\dfrac{51+3}8=$$\dfrac{54}8=\dfrac{27}4=6,75$

$$x_2=\dfrac{51-3}8=\dfrac{48}8=6$$

Определим знак производной на интервале $(-\infty ;6],$ подставим в формулу производной любое число из этого промежутка:

$y'(4)=4\cdot 4 - 51 +\frac{162}4=$$16-51+40,5=56,5-51=$$5,5>0\Rightarrow$функция на этом участке будет возрастать

Определим знак производной на интервале $[6;6,75]$, подставим в формулу производной любое число из этого промежутка:

$y(6,5)=4\cdot 6,5 - 51+\frac{162}{6,5}=$$26 - 51 +\frac{324}{13}=$$-25+24\frac{12}{13}=-\frac1{13}<0\Rightarrow$функция на этом участке убывает

Определим знак производной на интервале $[6,75;\infty ),$  подставим в формулу производной любое число из этого промежутка:

$y(10)=4\cdot 10-51+\frac{162}{10}=$$40 - 51+16,2=56,2 - 51=$$5,2>0\Rightarrow$ функция на этом участке будет возрастать

$\Rightarrow$ точка максимума $x=6$