Задание 1120

Найдем производную функции:

$$y'=4-\dfrac4{4x}=4-\dfrac1x$$

Найдем точки минимума и максимума:

$$4-\dfrac1x=0$$

$$\dfrac1x=4$$

$$4x=1$$

$$x=\dfrac14$$

Определим знак производной на отрезке $\left[\frac1{10};\frac14\right]$, подставим число из этого промежутка в формулу производной:

$y'\left(\frac{1}{8}\right)=4-1:\dfrac18=4-8=$$-4<0\Rightarrow$функция на этом участке убывает.

Определим знак производной на отрезке $\left[\frac14;\frac12\right]$ подставим число из этого промежутка в формулу производной:

$y'\left(\frac{1}{3}\right)=4-1:\dfrac13=4-3=$$1>0\Rightarrow$функция на этом участке возрастает.

Точкой минимума является $x=\frac14$

Найдем наименьшее значение функции:

$y=4\cdot \frac14 -\ln\left(4\cdot \frac14\right)+10=$$1-0+10=11$