Задание 1111

Найдем производную функции:

$y'=$$(x^2-9x-9)'\cdot e^{x-6}+$$(x^2-9x-9)\cdot (e^{x-6})'=$$(2x-9) \cdot e^{x-6}+$$(x^{2}-9x-9)\cdot e^{x-6}=$$e^{x-6} (2x-9+x^2-9x-9)=$$e^{x-6} (x^{2}-7x-18)$

Найдем точки максимума и минимума функции:

$$e^{x-6} (x^2-7x-18)=0$$

$e^{x-6}$ - всегда положительное

$$x^2-7x-18=0$$

$D=(-7)^2-4\cdot (-18)=$$49+72=121$

$x_1=\frac{-(-7)+\sqrt{121} }{2}=$$\dfrac{7+11}2=\dfrac{18}2=9$

$$x_2=\dfrac{7-11}2=-\dfrac42=-2$$

$e^{x-6}$ - всегда положительное $\Rightarrow$ знак производной будет определять $x^2-7x-18$

График функции $y=x^2-7x-18$ будет иметь вид параболы, ветви которой направлены вверх, и пересекает ось $X$ в точках $x=-2, x=9$ $\Rightarrow$ 

На интервале $(-\infty ;-2]$ производная будет положительная $\Rightarrow$функция будет возрастать.

На интервале $[-2;9]$ производная будет отрицательная $\Rightarrow$ функция будет убывать.

На интервале $[9;\infty )$ производная будет положительная $\Rightarrow$ функция будет возрастать

Точка минимума $x=9$