Задание 1588

Т.к. треугольник равносторонний $\Rightarrow$ его медиана - это так же высота.

Введем обозначения:

$\triangle ACH$ - прямоугольный $\Rightarrow$

По теореме Пифагора:

$$AC^2 = CH^2+AH^2$$

Выразим $CH$:

$$CH^2 = AC^2 - AH^2$$

$$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2}$$

$AH = \frac12AB = \frac12\cdot 18\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ (т.к. $CH$ - медиана)

Найдем $CH$:

$CH=\sqrt{(18\sqrt{3})^2 - (9\sqrt{3})^2}=$$\sqrt{(18\sqrt{3}-9\sqrt{3})(18\sqrt{3}+9\sqrt{3})}=$$\sqrt{9\sqrt{3}\cdot 27\sqrt{3}}=\sqrt{9\cdot 3\cdot 27}=$$\sqrt{27\cdot 27}=27$