Задание 1295

$3\log_{(x^2-10x+26)^3 } (3x^2+3) \leqslant$$\log_{x^2-10x+26 }(2x^2+5x+3)$

ОДЗ: $\begin{cases} 3x^{2}+3>0 \\ 2x^2+5x+3>0 \\ x^2-10x+26 >0 \\ x^2-10x+26 \neq 1\end{cases}\Leftrightarrow$$\begin{cases}x< -\dfrac32 ,x>-1 \\ x\neq 5\end{cases}$

$x\in\left(-\infty;-1,5 \right)\cup$$(-1; 5)\cup(5;\infty )$

$1)3x^2+3 >0$ при любых значениях $x$.

$$2)2x^2+5x+3>0$$

$$2x^2+5x+3=0$$

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 3=25-24=1$$

$$x_1=\frac{-5+1}{2\cdot 2}=\dfrac{-4}4=-1$$

$$x_2=\dfrac{-5-1}{2\cdot 2}=\dfrac{-6}4=-\dfrac32$$

$$x< -\dfrac32 ,x>-1$$

$$3)x^2-10x+26 >0$$

$$x^2-10x+26=0$$

$D=(-10)^2-4\cdot 26=$$100-104=-4< 0 \Rightarrow$ корней нет

$y=x^2-10x+26$ - графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх$\Rightarrow x^2-10x+26 >0$ при любых значениях $x$.

$$4) x^2-10x+26 \neq 1$$

$$x^2-10x+25 \neq 0$$

$$(x-5)^2 \neq 0$$

$$x-5\neq 0$$

$$x\neq 5$$

$3\log_{(x^2-10x+26)^3 } (3x^2+3) \leqslant$$\log_{x^2-10x+26 }(2x^2+5x+3)$

$\log_{x^2-10x+26 } (3x^2+3) \leqslant$$\log_{x^2-10x+26 }(2x^2+5x+3)$

$\log_{x^2-10x+26 } (3x^2+3)-$$\log_{x^2-10x+26 }(2x^2+5x+3)\leqslant 0$

Используя метод рационализации получаем:

$(x^2-10x+26-1)(3x^2+3-$$2x^2-5x-3)\leqslant 0$                                                    \log_a f-\log_a g <span style="color: #222222; font-family: arial, sans-serif;">\vee 0</span>

$(x-5)^2 (x^2-5x) \leqslant 0$                                                                                                   (a-1)(f-g)<span style="color: #222222; font-family: arial, sans-serif;">\vee 0</span>

$$x(x-5)^3 \leqslant 0$$