Задание 1293

$\frac{6}{\log_3x}+\frac{3}{\log_3^2 x-\log_3x^2 }\leqslant$$\frac{\log_3x}{\log_3\left(\frac{x}{9}\right)}$

ОДЗ: $\begin{cases} x>0 \\ \dfrac x9 >0 \\ \log_3 x \neq 0 (1)\\ \log_3\left(\dfrac x9 \right) \neq 0(2) \\ \log_{3}^2 x-\log_3 x^2 \neq 0 (3)\end{cases} \Leftrightarrow$$\begin{cases} x>0 \\ x>0 \\ x\neq 1 \\ x\neq 9 \\ x\neq 1, x\neq 9\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x>0 \\ x\neq 1 \\ x\neq 9\end{cases}$

                                   $x\in(0;1)\cup (1;9)\cup (9;\infty)$

$$1) \log_3x \neq 0$$

$$x\neq 1$$

$$2) \log_3\left(\dfrac x9 \right) \neq 0$$

$$\dfrac x9 \neq 1$$

$$x\neq 9$$

$$3) \log_3^2 x-\log_3x^2 \neq 0$$

$$\log_3^2 x-2\log_3x \neq 0$$

Пусть $\log_3x=t$

$$t^2-2t \neq 0$$

$$t(t-2) \neq 0$$

$$t\neq 0$$

$$\log_3x \neq 0$$

$$x\neq 1$$

$$t \neq 2$$

$$\log_3x \neq 2$$

$$x\neq 3^2$$

$$x\neq 9$$

$\frac{6}{\log_3x}+\frac{3}{\log_3^2 x-\log_3x^2 }\leqslant$$\frac{\log_3x}{\log_3\left(\frac{x}{9}\right)}$

$\frac{6}{\log_3x}+\frac{3}{\log_3^2 x-2\log_3x }\leqslant$$\frac{\log_3x}{\log_3x-\log_39}$

$\frac{6}{\log_3x}+\frac{3}{\log_3^2 x-2\log_3x }\leqslant$$\frac{\log_3x}{\log_3x-2}$

Пусть $\log_3x=t$

$$\dfrac6t+\frac3{t^2-2t} \leqslant \dfrac t{t-2}$$

$$\dfrac6t+\dfrac3{t(t-2)}-\dfrac t{t-2} \leqslant 0$$

$$\frac{6(t-2)+3-t^{2}}{t(t-2)} \leqslant 0$$

$$\frac{6t-12+3-t^{2}}{t(t-2)} \leqslant 0$$

$$\frac{-t^2+6t-9}{t(t-2)} \leqslant 0$$

$$\frac{t^2-6t+9}{t(t-2)} \geqslant 0$$

$$\frac{(t-3)^{2}}{t(t-2)}\geqslant 0$$

$$1) t< 0$$

$$\log_3x < 0$$

$$x< 1$$

$$2) t>2$$

$$\log_3x >2$$

$$x >9$$