Задание 1292

$5^{\log_4x^2}+3\cdot |x|^{\log_425} \leqslant$$4\cdot \left(\dfrac15 \right)^{\log_{0,25}(8x+9)}$

ОДЗ: $\begin{cases} x^{2} >0 \\ |x|>0 \\ 8x+9 >0(1) \end{cases} \Leftrightarrow$$\begin{cases} x\neq 0 \\ x\neq 0 \\ x>-\dfrac98 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\neq 0\\ x>-\dfrac98 \end{cases}$

$$x\in\left(-\dfrac98 ;0\right)\cup(0;\infty)$$

$$1)8x+9 >0$$

$$8x >-9$$

$$x>-\dfrac98$$

Преобразуем:

$|x|^{\log_425}=25^{\log_4|x|}=5^{2\log_4|x|}=$$5^{\log_4x^2}$                                                                   $c^{\log_ab}=b^{\log_ac}$

$5^{\log_4x^2}+3\cdot 5^{\log_4x^2} \leqslant$$4\cdot \left(\dfrac15 \right)^{\log_{0,25}(8x+9)}$

$$4\cdot 5^{\log_4x^2} \leqslant 4\cdot \left(5^{-1} \right)^{-\log_4(8x+9)}$$

$$4\cdot 5^{\log_4x^2} \leqslant 4\cdot 5^{\log_4(8x+9)}$$

$$5^{\log_4x^2} \leqslant 5^{\log_4(8x+9)}$$

$$\log_4x^2 \leqslant \log_4(8x+9)$$

$$x^2 \leqslant 8x+9$$

$$x^2-8x-9 \leqslant 0$$

$$x^2-8x-9= 0$$

$D=(-8)^2-4\cdot (-9)=$$64+36=100$

$x_1=\frac{-(-8)+\sqrt{100} }{2}=$$\dfrac{8+10}2=\dfrac{18}2=9$

$$x_2=\dfrac{8-10}2=\dfrac{-2}2=-1$$