Задание 1289

$\log_5(x^2-3)-\log_5x \leqslant$$\log_5\left(x-\dfrac3{x^2} \right)$

ОДЗ: $\begin{cases} x^2 \neq 0 \\ x >0 \\ x^2-3>0(1) \\ x-\dfrac3{x^{2}} >0(2)\end{cases} \Leftrightarrow$$\begin{cases} x \neq 0 \\ x >0 \\ x< -\sqrt3 , x >\sqrt3 \\ x< -\sqrt[3]{3}, x>\sqrt[3]{3} \end{cases} \Rightarrow x>\sqrt3$ 

$$1) x^2-3>0$$

$$x^2 >3$$

$$x_1=-\sqrt3 ,x_2=\sqrt3$$

$$x<-\sqrt{3}, x >\sqrt3$$

$$2)x-\dfrac3{x^2} >0$$

$$\frac{x^3-3}{x^{2}} >0$$

$x^2$ $\geqslant 0$ при любом значении $x$$\Rightarrow$

$$x^3-3 >0$$

$$x_1=-\sqrt[3]{3}, x_2=\sqrt[3]{3}$$

$$x<-\sqrt[3]{3}, x>\sqrt[3]{3}$$

$$\log_5\left(\frac{x^2-3}{x}\right) \leqslant \log_5 \left(\frac{x^3-3}{x^2 }\right)$$

$5>1 \Rightarrow$ можно избавиться от логарифмов без смены знака неравенства

$$\frac{x^2-3}{x} \leqslant \frac{x^3-3}{x^2 }$$

$$\frac{x^2-3}{x}-\frac{x^3-3}{x^{2}} \leqslant 0$$

$$\frac{x(x^2-3)-x^3+3}{x^{2}} \leqslant 0$$

$$\frac{x^3-3x-x^3+3}{x^{2}} \leqslant 0$$

$$\frac{-3x+3}{x^{2}} \leqslant 0$$

$$\frac{-3(x-1)}{x^2 }\leqslant 0$$

$$\frac{x-1}{x^2 }\geqslant 0$$