ФИПИ

Задание 1287

Решите неравенство $\frac{10}{\log_2x}+\frac{35}{\log_2^2 x-\log_2x^6 }\leqslant$ $\frac{\log_2x}{\log_2\left(\frac{x}{32}\right)-1}$

$\frac{10}{\log_2x}+\frac{35}{\log_2^2 x-\log_2x^6 }\leqslant$ $\frac{\log_2x}{\log_2\left(\frac{x}{32}\right)-1}$

ОДЗ: $\begin{cases} x>0 \\ \dfrac x{32} >0 \\ \log_2 x \neq 0 (1)\\ \log_2 ^2 x-\log_2 x^6 \neq 0 (2)\\ \log_2\left(\frac{x}{32}\right)-1\neq 0(3) \end{cases}\Leftrightarrow$ $\begin{cases} x>0 \\ x>0 \\ x\neq 1 \\ x\neq 1, x\neq 64 \\ x\neq 64 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>0 \\ x\neq 1 \\ x\neq 64\end{cases}$ ОДЗ

$x\in (0;1)\cup (1;64)\cup (64;\infty )$

$1) \log_2x \neq 0$

$x\neq 2^0$

$x\neq 1$

$2) \log_2^2 x-\log_2x^6 \neq 0$

$\log_2^2 x-\log_2x^6=$ $\log_2^2 x-6\log_2x$

Пусть $\log_2x=t$

$t^2-6t \neq 0$

$t(t-6)\neq 0$

$t_1 \neq 0$

$x\neq 1$

$t_2 \neq 6$

$x\neq 64$

$3)\log_2\left(\frac{x}{32}\right)-1\neq 0$

$\log_2x-\log_232-1 \neq 0$

$\log_2x-6\neq 0$

$\log_2x \neq 6$

$x\neq 64$

$\frac{10}{\log_2x}+\frac{35}{\log_2^2 x-6\log_2x }\leqslant$ $\frac{\log_2x}{\log_2x-6}$

Пусть $\log_2x=t$

$\dfrac{10}t+\frac{35}{t^2-6t}\leqslant \dfrac t{t-6}$

$\dfrac{10}t+\dfrac{35}{t(t-6)}-\dfrac t{t-6} \leqslant 0$

$\frac{10(t-6)+35-t^{2}}{t(t-6)}\leqslant 0$

$\frac{10t-60+35-t^{2}}{t(t-6)}\leqslant 0$

$\frac{-t^2+10t-25}{t(t-6)}\leqslant 0$

$\frac{t^2-10t+25}{t(t-6)}\geqslant 0$

$\frac{(t-5)^2 }{t(t-6)}\geqslant 0$

На координатной прямой отмечены корни неравенства, определены знаки

$1) t< 0$

$\log_2x < 0$

$x< 1$

$2) t=5$

$\log_2x=5$

$x=32$

$3) t>6$

$\log_2x >6$

$x > 64$

Решение неравенства, объединенное с ОДЗ