$\dfrac13 \log_2^2 (\cos ^3 x)+2\log_2(\cos x) \geqslant 1$

ОДЗ: $\cos x >0$

Преобразуем $(\log_2(\cos ^3 x) )^2=$ $(3\log_2(\cos x) )^2=9\log_2^2 (\cos x)$

$9\cdot \dfrac13 \cdot \log_2^2 (\cos x)+$ $2\log_2(\cos x)-1 \geqslant 0$

$3\log_2^2 (\cos x)+2\log_2(\cos x)-$ $1 \geqslant 0$

Пусть $\log_2(\cos x)=t$

$3t^2+2t-1\geqslant 0$

$3t^2+2t-1=0$

$D=2^2-4\cdot 3\cdot (-1)=4+12=$ $16$

$t_1=\frac{-2+\sqrt{16} }{2\cdot 3}=\dfrac{-2+4}6=$ $\dfrac26=\dfrac13$

$t_2=\dfrac{-2-4}6=-\dfrac66=-1$

На координатной прямой изображена парабола, отмечены корни неравенства, определены знаки

$1) t\leqslant-1$

$\log_2(\cos x) \leqslant-1$

$\cos x \leqslant \dfrac12$

$x=\pm \arccos \dfrac12+2\pi n=$ $\pm \dfrac{\pi }3 +2\pi n, n\in Z$

$2) t\geqslant \dfrac13$

$\log_2(\cos x) \geqslant \dfrac13$

$\cos x \geqslant 2^{\frac13}$

$2^{\frac13}>1, \cos x \leqslant |1| \Rightarrow$ не имеет решения

Окружность на координатной прямой с обозначенными корнями неравенства