Задание 1281

$$\dfrac83 \log_4^2 (\sin ^3 x)-\log_2(\sin x) \geqslant 7$$

ОДЗ:$\sin x >0$

Преобразуем $\log_4^2 (\sin ^3 x)=\left(\dfrac32 \log_2\sin x\right)^2=$$\dfrac94 \log_2^2 (\sin x)$

$\dfrac83 \cdot \dfrac94 \cdot \log_2^2 (\sin x)-$$\log_2(\sin x)-7\geqslant 0$

$$6\log_2^2 (\sin x)-\log_2(\sin x)-7 \geqslant 0$$

Пусть $\log_2(\sin x)=t$

$$6t^2-t-7\geqslant 0$$

$$6t^2-t-7=0$$

$D=(-1)^2-4\cdot 6\cdot (-7)=$$1+168=169$

$t_1=\frac{-(-1)+\sqrt{169} }{2\cdot 6}=\dfrac{1+13}{12}=$$\dfrac{14}{12}=\dfrac76$

$$t_2=\dfrac{1-13}{12}=-\dfrac{12}{12}=-1$$

$$1) t\leqslant-1$$

$$\log_2(\sin x) \leqslant-1$$

$$\sin x \leqslant \dfrac12$$

$x_1=\arcsin \dfrac12+2\pi n=$$\dfrac{\pi }6+2\pi n, n\in Z$

$x_2=\pi-\arcsin \dfrac12+2\pi n=$$\pi-\dfrac{\pi }6+2\pi n=\dfrac{5\pi }6+2\pi n, n \in Z$

$$2) t\geqslant \dfrac76$$

$$\log_2 (\sin x) \geqslant \dfrac76$$

$$\sin x \geqslant \sqrt[6]{2^{7}}$$

$\sqrt[6]{2^{7}} >1 \Rightarrow$ не имеет решения

Обозначим эти точки на окружности: