Задание 1280

$\frac{56}{\log_2^2 x-\log_2\left(\frac{x^4 }{32}\right)-1} \geqslant$$\frac{15}{2-\log_2x}-1$

ОДЗ:$\begin{cases} x >0 \\ \dfrac{x^{4}}{32} >0 \\ 2-\log_2 x \neq 0 (1)\\ \log_2 ^2 x-\log_2\left(\frac{x^4 }{32}\right)-1 \neq 0(2)\end{cases}\Leftrightarrow$$\begin{cases} x >0\\ x >0 \\ x\neq 4 \\ x\neq 4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x >0\\ x\neq 4\end{cases}$

$$1) 2-\log_2x \neq 0$$

$$\log_2x \neq 2$$

$$x\neq 4$$

$$2) \log_2^2 x-\log_2\left(\frac{x^4 }{32}\right)-1 \neq 0$$

Преобразуем $\log_2\left(\frac{x^4 }{32}\right)=\log_2x^4-\log_232=$$4\log_2x-5$

$$\log_2^2 x-4\log_2x+5-1 \neq 0$$

$$\log_2^2 x-4\log_2x+4 \neq 0$$

Пусть $\log_2x=t$

$$t^2-4t+4 \neq 0$$

$$(t-2)^2 \neq 0$$

$$t-2\neq 0$$

$$t\neq 2$$

$$\log_2x \neq 2$$

$$x\neq 4$$

$$\dfrac{56}{(t-2)^2} \geqslant \dfrac{15}{2-t}-1$$

$$\dfrac{56}{(t-2)^2}-\dfrac{15}{2-t}+1 \geqslant 0$$

$$\dfrac{56}{(t-2)^2}+\dfrac{15}{t-2}+1 \geqslant 0$$

$$\frac{56+15(t-2)+(t-2)^2 }{(t-2)^2 } \geqslant 0$$

$$\frac{56+15t-30+t^2-4t+4}{(t-2)^2 }\geqslant 0$$

$$\frac{t^2+11t+30}{(t-2)^2 }\geqslant 0$$

$$t^2+11t+30=0$$

$$D=11^2-4\cdot 30=121-120=1$$

$t_1=\frac{-11+\sqrt1 }{2}=\dfrac{-11+1}2=$$\dfrac{-10}2=-5$

$$t_2=\dfrac{-11-1}2=\dfrac{-12}2=-6$$

$$\frac{(t+6)(t+5)}{(t-2)^{2}} \geqslant 0$$

$1) t\leqslant-6$ 

$$\log_2x\leqslant-6$$

$$x\leqslant \dfrac1{64}$$

$$2)-5\leqslant t< 2$$

$$\dfrac1{32} \leqslant x< 4$$

$$3)t>2$$

$$x>4$$