Решите неравенство log216x+2⩾−5logx48\log_216x+2 \geqslant-5\log_{\frac{x}{4}}8log216x+2⩾−5log4x8▸Ответx∈[18;12]∪(4;∞)x\in\left[\frac{1}{8};\frac12\right]\cup (4;\infty )x∈[81;21]∪(4;∞)▸Решениеlog216x+2⩾−5logx48\log_216x+2 \geqslant-5\log_{\frac{x}{4}}8log216x+2⩾−5log4x8 ОДЗ: {x4>0x4≠116x>0⇔{x>0x≠4x>0⇔{x>0x≠4\begin{cases} \dfrac x 4 >0 \\ \dfrac x 4 \neq 1 \\ 16x >0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x>0 \\x\neq 4 \\ x>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x>0 \\x\neq 4 \end{cases}⎩⎨⎧4x>04x=116x>0⇔⎩⎨⎧x>0x=4x>0⇔{x>0x=4 Приведем логарифмы к общему основанию 222: 5logx48=5⋅log28log2(x4)=5\log_{\frac{x}{4}}8=\frac{5\cdot \log_28}{\log_2 \left(\frac{x}{4}\right)}=5log4x8=log2(4x)5⋅log28=5⋅3log2x−log24=15log2x−2\frac{5\cdot 3}{\log_2x-\log_2 4}=\frac{15}{\log_2x-2}log2x−log245⋅3=log2x−215 log216+log2x+2⩾\log_216+\log_2x+2 \geqslantlog216+log2x+2⩾−15log2x−2-\frac{15}{\log_2x-2}−log2x−215 4+log2x+2⩾−9log2x−24+\log_2x+2\geqslant-\frac{9}{\log_2x-2}4+log2x+2⩾−log2x−29 6+log2x⩾−15log2x−26+\log_2x\geqslant-\frac{15}{\log_2x-2}6+log2x⩾−log2x−215 Пусть log2x=t\log_2x=tlog2x=t 6+t⩾−15t−26+t \geqslant-\dfrac{15}{t-2}6+t⩾−t−215 (t+6)(t−2)+15t−2⩾0\frac{(t+6)(t-2)+15}{t-2}\geqslant 0t−2(t+6)(t−2)+15⩾0 t2−2t+6t−12+15t−2⩾0\frac{t^2-2t+6t-12+15}{t-2}\geqslant 0t−2t2−2t+6t−12+15⩾0 t2+4t+3t−2⩾0\frac{t^2+4t+3}{t-2}\geqslant 0t−2t2+4t+3⩾0 t2+4t+3=0t^2+4t+3=0t2+4t+3=0 D=42−4⋅3=16−12=4D=4^2-4\cdot 3=16-12=4D=42−4⋅3=16−12=4 t1=−4+42=−4+22=t_1=\frac{-4+\sqrt4 }{2}=\frac{-4+2}{2}=t1=2−4+4=2−4+2=−22=−1\dfrac{-2}2=-12−2=−1 t2=−4−22=−62=−3t_2=\dfrac{-4-2}2=\dfrac{-6}2=-3t2=2−4−2=2−6=−3 (t+1)(t+3)(t−2)⩾0\dfrac{(t+1)(t+3)}{(t-2)} \geqslant 0(t−2)(t+1)(t+3)⩾0 1)−3⩽t⩽−11)-3\leqslant t \leqslant-11)−3⩽t⩽−1 −3⩽log2x⩽−1-3 \leqslant \log_2x \leqslant-1−3⩽log2x⩽−1 18⩽x⩽12\dfrac18 \leqslant x \leqslant \dfrac1281⩽x⩽21 2)t⩾22) t\geqslant 22)t⩾2 log2x⩾2\log_2x \geqslant 2log2x⩾2 x⩾22x \geqslant 2^2x⩾22 x⩾4x \geqslant 4x⩾4
