Задание 1278

$$\log_4^2 (\sin ^4 x )+3\log_2 (\sin x) \leqslant 1$$

ОДЗ:$\sin x >0$

Преобразуем $(\log_4(\sin ^4 x) )^2=$$\left(\dfrac42 \log_2 (\sin x) \right)^2=$$(2\log_2(\sin x) )^2=$$4\log_2^2 (\sin x)$

$4\log_2^2 (\sin x)+3\log_2(\sin x)-1$$\leqslant 0$

Пусть $\log_2(\sin x)=t$, тогда

$$4t^2+3t-1\leqslant 0$$

$$4t^2+3t-1= 0$$

$D=3^2-4\cdot 4\cdot (-1)=9+16=$$25$

$t_1=\frac{-3+\sqrt{25} }{4\cdot 2}=\dfrac{-3+5}8=$$\dfrac28=\dfrac14$

$$t_2=\dfrac{-3-5}8=\dfrac{-8}8=-1$$

$$-1\leqslant t\leqslant \dfrac14$$

$$-1 \leqslant \log_2 (\sin x) \leqslant \dfrac14$$

$$\dfrac12 \leqslant \sin x \leqslant 2^{\frac{1}{4}}$$

$2^{\frac{1}{4}} >1,$ но $\sin x \leqslant |1|$ всегда $\Rightarrow$

$$\sin x \geqslant \dfrac12$$

$x_1=\arcsin \dfrac12+2\pi n=\dfrac{\pi }6+2\pi n$, $n\in Z$

$x_2=\pi-\arcsin \dfrac12+2\pi n=$$\pi-\dfrac{\pi }6+2\pi n=\dfrac{5\pi }6+2\pi n$, $n\in Z$

Обозначим эти точки на окружности:

Из рисунка получаем:

$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n; \frac{5\pi}{6}+2\pi n\right]$, $n\in Z$