Задание 1277

$$\frac{x^3-4x^2+4x+8}{x^2-3x-4} \geqslant x-2$$

ОДЗ:$x^2-3x-4\neq 0$

$D=(-3)^2-4\cdot (-4)=9+16=$$25$

$x_1=\frac{-(-3)+\sqrt{25} }{2}=\dfrac{3+5}2=$$\dfrac82=4$

$$x_2=\dfrac{3-5}2=-\dfrac22=-1$$

$$x\neq 4, x\neq-1$$

$\frac{x^3-4x^2+4x+8}{(x-4)(x+1)} \geqslant$$\frac{(x-2)(x-4)(x+1)}{(x-4)(x+1)}$

$\frac{x^3-4x^2+4x+8-(x-2)(x-4)(x+1)}{(x-4)(x+1)}$$\geqslant 0$

$\frac{x^3-4x^2+4x+8-(x^2-6x+8)(x+1)}{(x-4)(x+1)}$$\geqslant 0$

$\frac{x^3-4x^2+4x+8-(x^3+x^2-6x^2-6x+8x+8)}{(x-4)(x+1)}$$\geqslant 0$

$\frac{x^3-x^3-4x^2+5x^2+4x-2x-8+8}{(x-4)(x+1)}$$\geqslant 0$

$$\frac{x^2+2x}{(x-4)(x+1)}\geqslant 0$$

$$\frac{x(x+2)}{(x-4)(x+1)}\geqslant 0$$

$$x_1 = 0, x_2 = -2, x_3 = 4, x_4 = -1$$

Решим неравенство методом интервалов. Отметим на координатной прямой корни неравенства и определим знаки, подставляя в неравенство числа из интервалов:

$$x\in (-\infty ;-2]\cup (-1;0]\cup (4;\infty )$$