Решите неравенство 4x−24x−4⩽1+14x−3\frac{4^x-2}{4^x-4} \leqslant 1+\frac{1}{4^x-3}4x−44x−2⩽1+4x−31▸Ответx∈(−∞;12]∪(log43;1)x\in \left(-\infty ;\frac{1}{2}\right]\cup (\log_4 3; 1)x∈(−∞;21]∪(log43;1)▸Решение4x−24x−4⩽1+14x−3\frac{4^x-2}{4^x-4} \leqslant 1+\frac{1}{4^x-3}4x−44x−2⩽1+4x−31 ОДЗ:{4x−4≠0(1)4x−3≠0(2)⇔{x≠1x≠log43\begin{cases} 4^x-4 \neq 0 (1) \\ 4^x-3\neq 0(2) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\neq 1 \\ x\neq \log_4 3 \end{cases}{4x−4=0(1)4x−3=0(2)⇔{x=1x=log43 1)4x−4≠01)4^x-4 \neq 01)4x−4=0 4x≠414^x \neq 4^14x=41 x≠1x\neq 1x=1 2)4x−3≠02)4^x-3\neq 02)4x−3=0 4x≠34^x \neq 34x=3 4x≠4log434^x \neq 4^{\log_43}4x=4log43 x≠log43x\neq \log_43x=log43 Пусть 4x=t,t>0,4^x=t, t>0,4x=t,t>0, тогда: t−2t−4⩽1+1t−3\dfrac{t-2}{t-4} \leqslant 1+\dfrac1{t-3}t−4t−2⩽1+t−31 t−2t−4⩽t−3+1t−3\dfrac{t-2}{t-4} \leqslant \dfrac{t-3+1}{t-3}t−4t−2⩽t−3t−3+1 t−2t−4⩽t−2t−3\dfrac{t-2}{t-4} \leqslant \dfrac{t-2}{t-3}t−4t−2⩽t−3t−2 t−2t−4−t−2t−3⩽0\dfrac{t-2}{t-4}-\dfrac{t-2}{t-3} \leqslant 0t−4t−2−t−3t−2⩽0 (t−2)(1t−4−1t−3)⩽0(t-2)\left(\dfrac1{t-4}-\dfrac1{t-3} \right)\leqslant 0(t−2)(t−41−t−31)⩽0 (t−2)(t−3−t+4(t−4)(t−3))⩽0(t-2) \left(\dfrac{t-3-t+4}{(t-4)(t-3)} \right)\leqslant 0(t−2)((t−4)(t−3)t−3−t+4)⩽0 (t−2)⋅1(t−4)(t−3)⩽0(t-2) \cdot \dfrac1{(t-4)(t-3)} \leqslant 0(t−2)⋅(t−4)(t−3)1⩽0 t−2(t−4)(t−3)⩽0\dfrac{t-2}{(t-4)(t-3)} \leqslant 0(t−4)(t−3)t−2⩽0 t1=2,t2=4,t3=3t_{1=} 2, t_2=4, t_3=3t1=2,t2=4,t3=3 1)t⩽21) t\leqslant 21)t⩽2 4x⩽24^x \leqslant 24x⩽2 22x⩽212^{2x} \leqslant 2^122x⩽21 2x⩽12x\leqslant 12x⩽1 x⩽12x\leqslant \dfrac12x⩽21 2)3<t<42) 3< t< 42)3<t<4 3<4x<43< 4^x < 43<4x<4 4log43<4x<414^{\log_4 3}< 4^x < 4^14log43<4x<41 log43<x<1\log_4 3 < x < 1log43<x<1
