Задание 1274

$\log_{\frac{2x-1}{x+1}}(4x^{2}+5x+1) \geqslant$$\log_{\frac{2x-1}{x+1}}(2x^{2}+x-1)$

ОДЗ:$\begin{cases} x\neq-1\\ \dfrac{2x-1}{x+1} >0(1) \\ \dfrac{2x-1}{x+1} \neq 1(2) \\ 4x^2+5x+1 >0(3) \\ 2x^2+x-1 >0(4)\end{cases}\Leftrightarrow$$\begin{cases} x\neq-1 \\ x< -1, x> \dfrac{1}{2} \\ x\neq 2 \\ x< -1,x>-\dfrac{1}{4} \\ x < -1, x>\dfrac{1}{2} \end{cases}\Leftrightarrow$$\begin{cases} x< -1, x> \dfrac{1}{2} \\ x>-\dfrac{1}{4} \\ x\neq 2\end{cases}\Rightarrow$$x\in \left(\frac{1}{2};2\right)\cup (2;\infty )$

$$1)\dfrac{2x-1}{x+1} >0$$

$$2x-1=0$$

$$x_1=\dfrac12$$

$$x_2=-1$$

$$x<-1, x\geqslant \frac{1}{2}$$

$$2)\dfrac{2x-1}{x+1} \neq 1$$

$$2x-1 \neq x+1$$

$$2x-x \neq 2$$

$$x\neq 2$$

$$3)4x^2+5x+1 >0$$

$$4x^2+5x+1 =0$$

$$D=5^2-4\cdot 4\cdot 1=25-16=9$$

$x_1=\frac{-5+\sqrt9 }{4\cdot 2}=\dfrac{-5+3}8=$$\dfrac{-2}8=-\dfrac14$

$$x_2=\dfrac{-5-3}8=\dfrac{-8}8=-1$$

$$x<-1,x>-\frac{1}{4}$$

$$4) 2x^2+x-1 >0$$

$$2x^2+x-1 =0$$

$$D=1-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9$$

$x_1=\frac{-1+\sqrt3 }{2\cdot 2}=\dfrac{-1+3}4=\dfrac24=$$\dfrac12$

$$x_2=\dfrac{-1-3}4=-\dfrac44=-1$$

$$x <-1, x>\frac{1}{2}$$

$\log_{\frac{2x-1}{x+1}}(4x^{2}+5x+1) \geqslant$$\log_{\frac{2x-1}{x+1}}(2x^{2}+x-1)$

1) Рассмотрим случай, когда $\dfrac{2x-1}{x+1} >1$

$$2x-1 >x+1$$

$$2x-x>2$$

$$x>2$$

Тогда можно не меняя знака неравенства избавиться от логарифмов:

$$4x^2+5x+1 \geqslant 2x^2+x-1$$

$$4x^2-2x^2+5x-x+1+1 \geqslant 0$$

$$2x^2+4x+2 \geqslant 0$$

$$x^2+2x+1 \geqslant 0$$

$(x+1)^2 \geqslant 0$ при любом значении $x.$

2) Рассмотрим случай, когда $\dfrac{2x-1}{x+1} < 1$, $x< 2$ тогда можно избавиться от логарифмов, при этом знак неравенства изменится:

$$4x^2+5x+1 \leqslant 2x^2+x-1$$

$(x+1)^2 \leqslant 0$-выполняется только при $(x+1)^2=0$

$$x+1=0$$

$x=-1$-не cоответствует условию

Решением неравенства является вся область допустимых значений:

$$x\in \left(\frac{1}{2};2\right)\cup (2;\infty )$$