Задание 1272

$$\log_{\frac19 x^2 } \left(\dfrac{20-x}{9}\right) \leqslant 1$$

ОДЗ: $\begin{cases}\frac19 \cdot x^2 >0 \\ \frac19 x^2 \neq 1 \\ \frac{20-x}9 >0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\neq 0 \\ x\neq \pm 3 \\ x< 20\end{cases}$

$\log_{\frac19 x^2 } \left(\dfrac{20-x}{9}\right)$$\leqslant \log_{\frac19 x^2 } \left(\dfrac19 \cdot x^2 \right)$

$\log_{\frac19 x^2 } \left(\dfrac{20-x}{9}\right)-$$\log_{\frac19 x^2 } \left(\dfrac19 \cdot x^2 \right)$$\leqslant 0$

Используя метод рационализации получаем:

$\left(\dfrac19 x^2-1\right) \left(\dfrac{20-x}9-\dfrac19 x^2 \right) \leqslant 0$                                        \log_a f-\log_a g <span style="color: #222222; font-family: arial, sans-serif;">\vee 0</span>

$\left(\dfrac19 x^2-1\right) \left(\dfrac{20-x-x^2}{9}\right) \leqslant 0$                                           (a-1)(f-g)<span style="color: #222222; font-family: arial, sans-serif;">\vee 0</span>

$$1)\dfrac19 x^2-1\leqslant 0$$

$$\dfrac19 x^2\leqslant 1$$

$$x^2\leqslant9$$

$$x=\pm 3$$

$$-3\leqslant x \leqslant 3$$

$$2) \dfrac{20-x-x^2}9\leqslant 0$$

$$-x^2-x+20\leqslant 0$$

$$x^2+x-20\geqslant 0$$

$$x^2+x-20=0$$

$D=1-4\cdot 1\cdot (-20)=1+80=$$81$

$x_1=\frac{-1+\sqrt{81} }{2}=\dfrac{-1+9}2=$$\dfrac82=4$

$$x_1=\dfrac{-1-9}2=\dfrac{-10}2=-5$$

$$x\leqslant-5, x\geqslant 4$$