Задание 1271

$\log_7\left(2x+\dfrac8x+1\right)-\log_7(x+4)$$\geqslant \log_7\left(\dfrac{x+4}x \right)$

ОДЗ:$\begin{cases} x\neq 0 \\2x+\dfrac8x+1 >0(1) \\ x+4 >0 \\ \dfrac{x+4}x >0(2)\end{cases} \Leftrightarrow$$\begin{cases} x\neq 0 \\ x\neq 0 \\ x>-4 \\ x\leqslant-4; x>0\end{cases}\Leftrightarrow$$\begin{cases} x\neq 0 \\ x>-4 \\ x\leqslant-4; x>0\end{cases}\Rightarrow x>0$

$$1) 2x+\dfrac8x+1 >0$$

$$2x+\dfrac8x+1=0$$

$$2x^2+8+x=0$$

$D=1-4\cdot 8\cdot 2=1-64=$$-63 < 0 \Rightarrow$ корней нет

$y=2x^2+x+8$ - графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх$\Rightarrow 2x+\dfrac8x+1 >0$ при любых значениях $x$, кроме $x\neq0$

$$2)\dfrac{x+4}x >0$$

$$x\leqslant-4; x>0$$

$\log_7\left(2x+\dfrac8x+1\right)-\log_7(x+4)$$\geqslant \log_7\left(\dfrac{x+4}x \right)$

$\log_7\left( (2x+\dfrac8x+1):(x+4) \right)$$\geqslant \log_7 \left(\dfrac{x+4}x \right)$

$$\frac{2x+\frac8{x}+1}{x+4} \geqslant \dfrac{x+4}x$$

$$\frac{2x+\frac8{x}+1}{x+4}-\dfrac{x+4}x \geqslant 0$$

$$\frac{2x^2+8+x}{x(x+4)}-\dfrac{(x+4)^2}{x(x+4)} \geqslant 0$$

$$\frac{2x^2+8+x-x^2-8x-16}{x(x+4)} \geqslant 0$$

$$\frac{x^2-7x-8}{x(x+4)}\geqslant 0$$

$$x_{1}=0, x_2=-4$$

$$x^2-7x-8=0$$

$D=(-7)^2-4 \cdot 1\cdot (-8)=$$49+32=81$

$x_3=\frac{-(-7)+\sqrt{81} }{2}=\dfrac{7+9}2=$$\dfrac{16}2=8$

$$x_4=\dfrac{7-9}2=-\dfrac22=-1$$

$$\dfrac{(x-8)(x+1)}{x(x+4)} \geqslant 0$$