Задание 1267

$\frac{3^x }{3^x-9}+\frac{3^x+2 }{3^x-4}+$$\frac{7\cdot 3^x+20}{9^x-13\cdot 3^x+36}$$\leqslant 0$

Пусть $3^x=t, t>0$

$\dfrac t{t-9}+\dfrac{t+2}{t-4}+\frac{7t+20}{t^2-13t+36}$$\leqslant 0$

ОДЗ: $\begin{cases} t\neq 9 \\ t\neq 4 \\ t^2-13t+36 \neq 0 (1)\end{cases}\Leftrightarrow$$\begin{cases}t\neq 9 \\ t\neq 4 \\ t\neq 9, t\neq 4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} t\neq 9 \\ t\neq 4\end{cases}$

$$1)t^2-13t+36 \neq 0$$

$D=(-13)^2-4\cdot 36=$$169-144=25$

$t_1=\frac{-(-13)+\sqrt{25} }{2}=\dfrac{13+5}2=$$\dfrac{18}2=9$

$$t_2=\dfrac{13-5}2=\dfrac82=4$$

$$t\neq 9, t\neq 4.$$

$\dfrac t{t-9}+\dfrac{t+2}{t-4}+\dfrac{7t+20}{(t-9)(t-4)}$$\leqslant 0$

$\frac{t(t-4)+(t+2)(t-9)+7t+20}{(t-9)(t-4)}$$\leqslant 0$

$\frac{t^2-4t+t^2-9t+2t-18+7t+20}{(t-9)(t-4)}$$\leqslant 0$

$$\frac{2t^2-4t+2}{(t-9)(t-4)} \leqslant 0$$

$$\frac{t^2-2t+1}{(t-9)(t-4)} \leqslant 0$$

$$\frac{(t-1)^2 }{(t-9)(t-4)} \leqslant 0$$

$$1)t=1$$

$$3^x=1$$

$$3^x=3^0$$

$$x=0$$

$$2) 4 < t < 9$$

$$4 < 3^x < 9$$

$$3^{\log_34} < 3^x < 3^2$$

$$\log_34 < x < 2$$